1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst} % Индентация на параграф след секция
\usepackage{marvosym}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\renewcommand{\thesection}{Решение}
\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 4},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 4 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Май 2023}
\begin{document}
\maketitle
\section{(i)}
По дефиниция $I = \langle 2 - \sqrt{-5} \rangle = \left\{ (2 - \sqrt{-5})z \;\vert\; z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \right\}$.
Нека $J = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \}$.
Ще докажем, че $I \subseteq J$. За произволно $i' = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \in I$, ще покажем че съществува $j = a + \sqrt{5}bi \in J$, такова че $j = i'$.
\begin{align*}
& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
& a \equiv -2b \; (\mod 9) \iff 2c + 5d \equiv -4d + 2c \; (\mod 9) \implies i' \in I \implies I \subseteq J
\end{align*}
Ще докажем, че $J \subseteq I$. За произволно $j = a + \sqrt{5}bi\in J$, ще покажем че съществува $z = c + \sqrt{5}di \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че $j = (2 - \sqrt{5}i)z$.
\begin{align*}
& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \quad a + \sqrt{5}bi = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
& \implies \left| \begin{array}{l}
a = 2c + 5d \\
b = 2d - c
\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
a = 2(2d - b) + 5d \\
c = 2d - b
\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
9d = a + 2b \\
9c = 2(a + 2b) - 9b
\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
9d = a - 2b \\
9c = 2a - 5b
\end{array} \right. \\
& d = \frac{a - 2b}{9}, c = \frac{2a - 5b}{9} \in \mathbb{Z} \implies j \in I \implies J \subseteq I
\end{align*}
Следователно $I = J$
\section{(ii)}
Ще докажем че изображението $\psi$ е хомоморфизъм на пръстени, като
\begin{align*}
& \psi : \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \rightarrow \mathbb{Z}_9, \quad \psi (a + \sqrt{5}bi) = a + 2b \; (\mod 9) \quad \forall (a + \sqrt{5}bi) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
& \psi ((a + \sqrt{5}bi) + (c + \sqrt{5}di)) = \psi ((a + c) + (b+d)\sqrt{5}i) = a + c + 2(b + d) \; (\mod 9) \\
& = (a + 2b)(\mod 9) + (c + 2d)(\mod 9) = \psi(a + \sqrt{5}bi) + \psi(c + \sqrt{5}di) \\
& \psi ((a + \sqrt{5}bi)(c + \sqrt{5}di)) = \psi((ac - 5bd) + (ad + bc)\sqrt{5}i) = (ac - 5bd) + 2(ad + bc)\sqrt{5}i \; (\mod 9) \\
& = (a + \sqrt{5}bi) \; (\mod 9) . (c + \sqrt{5}di) \; (\mod 9) = \psi (a + \sqrt{5}bi)\psi(c + \sqrt{5}di) \\
& \text{за произволни } (a + \sqrt{5}bi), (c + \sqrt{5}di) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
& \ker(\psi) = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a + 2b \equiv 0 \; (\mod 9) \} = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \} = I \\
& \text{Следователно, от теоремата за хомоморфизми на пръстени } \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / I = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / \ker(\psi) \simeq im (\psi) = \mathbb{Z}_9
\end{align*}
\end{document}
|
