% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
\usepackage{marvosym}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}

\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 4},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 4 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Май 2023}

\begin{document}

\maketitle

\section{(i)}

По дефиниция $I = \langle 2 - \sqrt{-5} \rangle = \left\{ (2 - \sqrt{-5})z \;\vert\; z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \right\}$.

Нека $J = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \}$.

Ще докажем, че $I \subseteq J$. За произволно $i' = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \in I$, ще покажем че съществува $j = a + \sqrt{5}bi \in J$, такова че $j = i'$.
\begin{align*}
	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
	& a \equiv -2b \; (\mod 9) \iff 2c + 5d \equiv -4d + 2c \; (\mod 9) \implies i' \in I \implies I \subseteq J
\end{align*}

Ще докажем, че $J \subseteq I$. За произволно $j = a + \sqrt{5}bi\in J$, ще покажем че съществува  $z = c + \sqrt{5}di \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че $j = (2 - \sqrt{5}i)z$.
\begin{align*}
	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \quad a + \sqrt{5}bi = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
	& \implies \left| \begin{array}{l}
		a = 2c + 5d \\
		b = 2d - c
	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
		a = 2(2d - b) + 5d \\
		c = 2d - b
	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
		9d = a + 2b \\
		9c = 2(a + 2b) - 9b
	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
		9d = a - 2b \\
		9c = 2a - 5b
	\end{array} \right. \\
	& d = \frac{a - 2b}{9}, c = \frac{2a - 5b}{9} \in \mathbb{Z} \implies j \in I \implies J \subseteq I
\end{align*}

Следователно $I = J$

\section{(ii)}

Ще докажем че изображението $\psi$ е хомоморфизъм на пръстени, като
\begin{align*}
	& \psi : \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \rightarrow \mathbb{Z}_9, \quad \psi (a + \sqrt{5}bi) = a + 2b \; (\mod 9) \quad \forall (a + \sqrt{5}bi) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
	& \psi ((a + \sqrt{5}bi) + (c + \sqrt{5}di)) = \psi ((a + c) + (b+d)\sqrt{5}i) = a + c + 2(b + d) \; (\mod 9) \\
	& = (a + 2b)(\mod 9) + (c + 2d)(\mod 9) = \psi(a + \sqrt{5}bi) + \psi(c + \sqrt{5}di) \\
	& \psi ((a + \sqrt{5}bi)(c + \sqrt{5}di)) = \psi((ac - 5bd) + (ad + bc)\sqrt{5}i) = (ac - 5bd) + 2(ad + bc)\sqrt{5}i \; (\mod 9) \\
	& = (a + \sqrt{5}bi) \; (\mod 9) . (c + \sqrt{5}di) \; (\mod 9) = \psi (a + \sqrt{5}bi)\psi(c + \sqrt{5}di) \\
	& \text{за произволни } (a + \sqrt{5}bi), (c + \sqrt{5}di) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
	& \ker(\psi) = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a + 2b \equiv 0 \; (\mod 9) \} = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \} = I \\
	& \text{Следователно, от теоремата за хомоморфизми на пръстени } \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / I = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / \ker(\psi) \simeq im (\psi) = \mathbb{Z}_9
\end{align*}

\end{document}