1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst} % Индентация на параграф след секция
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\renewcommand{\thesection}{Решение}
\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 2},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Май 2023}
\begin{document}
\maketitle
\section{(i) $\Rightarrow$ (ii)}
От Твърдение 8.11 на лекции, знаем че всеки обратим елемент относно умножението не е делител на нулата.
Тоест, ако $A$ е делител, то той не е обратим и $A \notin M_{n \times n}(\mathbb{Q})^*$.
\section{(ii) $\Rightarrow$ (iii)}
\section{(iii) $\Rightarrow$ (i)}
Щом съществува матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$ с равни стълбове, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$, то съществува някаква матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$.
Следователно, от дефиницията, $A$ дели нулата.
\end{document}
|
