% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\renewcommand{\thesection}{Решение}

\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}

\let\oldforall\forall
\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}

\let\oldexist\exists
\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}

\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 2},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Май 2023}

\begin{document}

\maketitle

\section{(i) $\Rightarrow$ (ii)}

От Твърдение 8.11 на лекции, знаем че всеки обратим елемент относно умножението не е делител на нулата.
Тоест, ако $A$ е делител, то той не е обратим и $A \notin M_{n \times n}(\mathbb{Q})^*$.

\section{(ii) $\Rightarrow$ (iii)}

\section{(iii) $\Rightarrow$ (i)}

Щом съществува матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$ с равни стълбове, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$, то съществува някаква матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$.
Следователно, от дефиницията, $A$ дели нулата.

\end{document}