1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
\newcommand{\im}{\text{im}}
\newcommand{\rk}{\text{rk}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\newcommand{\ex}{4 Въпрос}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{03 Януари 2022}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
Спрямо някакъв базис на линейното пространство $U$ над полето $\mathbb{R}$ на реалните числа, линейният оператор $\varphi : U \rightarrow U$ има матрица
\begin{align*}
A = \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
-2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\
2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\
-1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\
-1 & 1 & -2 & 2 & -2
\end{array} \right).
\end{align*}
Да се намерят базиси на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ и на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ на ядрото $\ker (\varphi)$ и образа $\im (\varphi)$ на $\varphi$.
\paragraph{Решение:}
Нека $e = (e_1, ..., e_n)$ да е базис на $U$. По определение, $A = (\varphi (e_1), ..., \varphi (e_n))$, образувана по стълбове, и понеже $A$ има 5 стълба, то $n = 5$ и $\dim (U) = 5$.
Ще намерим базис на $\ker (\varphi)$. Търсим $u \in U$, такова че $\varphi (u) = Au = \mathcal{O}$. Разглеждаме $A$:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
-2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\
2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\
-1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\
-1 & 1 & -2 & 2 & -2
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Събираме трети ред с втори. Умножаваме първи по -2 и събираме с} \\
& \text{трети. Събираме първи с четвърти и пети. Събираме новополучилият} \\
& \text{се трети ред с четвърти. Събираме новополучелият се четвърти} \\
& \text{ред с трети. Делим трети на -5 и пети на 4.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме трети ред по -1 и събираме с пети.} \\
& \text{Умножаваме трети ред по -3 и събираме с първи.} \\
& \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събираме с първи.} \\
& \text{Разменяме втори с трети и трети с четвърти. Изпускаме четвърти и пети.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Общото решение на хомогенната система е:} \\
& x_1 = -x_4 -2x_5, \quad x_2 = -x_4, \quad x_3 = x_4, \quad \forall x_4, x_5 \in U \\
& \text{Нейна фундаментална система решения е: } (-2, 0, 0, 0, 1), \; (-1, -1, 1, 1, 0)
\end{aligned}
\end{align*}
Следователно $d (\varphi) = \dim (\ker (\varphi)) = 2$. От Теоремата за ранга и дефекта на линейно изображение в крайномерно пространство, $\rk (\varphi) := \dim (\im (\varphi)) = \dim(U) - \dim (\ker (\varphi)) = 3$.
По Теорема, $\im (\varphi) = l(\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5))$. То тогава три непропорционални вектора от $\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5)$ образуват базис на $\im (\varphi)$. Избираме:
\begin{align*}
\varphi(e_1) = (1, -2, 2, -1, -1)^t, \quad \varphi(e_2) = (3, -1, 1, 2, 1)^t \quad\text{и}\quad \varphi(e_3) = (2, -3, 3, 0, -2)^t
\end{align*}
Ще намерим пространство от решения на $\im (\varphi)$. Решаваме матрица от коефициенти на базиса:
\noindent
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\
3 & -1 & 1 & 2 & 1 \\
2 & -3 & 3 & 0 & -2
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред по -3 и събираме с втори.} \\
& \text{Умножаваме първи ред по -2 и събираме с трети.} \\
& \text{Разменяме втори и трети ред.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 5 & -5 & 5 & 4
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме втори ред по -5 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 4
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи по 5, умножаваме трети по 3 и събираме с първи.} \\
& \text{Умножаваме втори по 5, умножаваме трети по 2 и събираме с втори.}
\end{aligned}
\end{align*}
\begin{align*}
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 4
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Общото решение на хомогенната система решения е:} \\
& x_1 = -\frac{7x_5}{5}, \quad x_2 = \frac{5x_3 - 8 x_5}{5}, \quad x_4 = \frac{4x_5}{5} \quad \forall x_3, x_5 \in U
\end{aligned}
\end{align*}
Нейна фундаментална система решения е: $(-7, -8, 0, 4, 5), \; (0, 1, 1, 0, 0)$.
\hfill
Базис на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ е матрица на хомогенните системи уравнения на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
-7 & -8 & 0 & 4 & 5 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи по 7 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по} \\
& \text{8 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по -1 и събираме с пети.} \\
& \text{Делим новополучилият се четвърти на 19. Умножаваме трети по -1 и} \\
& \text{събираме с новополучилият се пети. Чрез четвърти зануляваме} \\
& \text{четвърта колона на другите редове.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Общото решение на на получената система е:} \\
& x_1 = -x_5, \quad x_2 = x_5, \quad x_3 = -x_5, \quad x_4 = -x_5 \quad \forall x_5 \in U \\
& \text{Следователно, \answerbox{(-1, 1, -1, -1, 1)} е базис на } \ker (\varphi) \cap \im (\varphi)
\end{aligned}
\end{align*}
Базис на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ е максимална линейно независима подсистема на базисите на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrrr}
-2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\
5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 4
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме втори ред по -2 и събираме с първи. Умножаваме втори} \\
& \text{ред по 5 и събираме с трети. Събираме новополучилият се трети} \\
& \text{с четвърти. Събираме новополучилият се четвърти с пети. Делим} \\
& \text{пети на 19 и зануляваме дясната колона на другите редове.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -5 & 5 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Делим първи ред на 2 и трети на 5. Събираме трети с първи.} \\
& \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с втори. Делим четвърти на} \\
& \text{пет и зануляваме четвъртата колона на другите редове. Умножаваме} \\
& \text{втори и трети ред по -1. Изпускаме първи ред.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Получената система е състои от четири ЛНЗ вектора, които са базис} \\
& \text{на } \ker (\varphi) + \im (\varphi): \answerbox{(1, 0, 0, 0, 0), \; (0, 1, -1, 0, 0), \; (0, 0, 0, 1, 0), \; (0, 0, 0, 0, 1)}
\end{aligned}
\end{align*}
\end{document}
|
