% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} \newcommand{\im}{\text{im}} \newcommand{\rk}{\text{rk}} \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate]{label=\arabic*.} \newcommand{\ex}{4 Въпрос} \usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021}, pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}, pdfsubject={}, pdfkeywords={}, colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} \title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{03 Януари 2022} \begin{document} \maketitle \noindent \colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}} \paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}} Спрямо някакъв базис на линейното пространство $U$ над полето $\mathbb{R}$ на реалните числа, линейният оператор $\varphi : U \rightarrow U$ има матрица \begin{align*} A = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -2 & 2 & -2 \end{array} \right). \end{align*} Да се намерят базиси на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ и на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ на ядрото $\ker (\varphi)$ и образа $\im (\varphi)$ на $\varphi$. \paragraph{Решение:} Нека $e = (e_1, ..., e_n)$ да е базис на $U$. По определение, $A = (\varphi (e_1), ..., \varphi (e_n))$, образувана по стълбове, и понеже $A$ има 5 стълба, то $n = 5$ и $\dim (U) = 5$. Ще намерим базис на $\ker (\varphi)$. Търсим $u \in U$, такова че $\varphi (u) = Au = \mathcal{O}$. Разглеждаме $A$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ -1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -2 & 2 & -2 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме трети ред с втори. Умножаваме първи по -2 и събираме с} \\ & \text{трети. Събираме първи с четвърти и пети. Събираме новополучилият} \\ & \text{се трети ред с четвърти. Събираме новополучелият се четвърти} \\ & \text{ред с трети. Делим трети на -5 и пети на 4.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме трети ред по -1 и събираме с пети.} \\ & \text{Умножаваме трети ред по -3 и събираме с първи.} \\ & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събираме с първи.} \\ & \text{Разменяме втори с трети и трети с четвърти. Изпускаме четвърти и пети.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Общото решение на хомогенната система е:} \\ & x_1 = -x_4 -2x_5, \quad x_2 = -x_4, \quad x_3 = x_4, \quad \forall x_4, x_5 \in U \\ & \text{Нейна фундаментална система решения е: } (-2, 0, 0, 0, 1), \; (-1, -1, 1, 1, 0) \end{aligned} \end{align*} Следователно $d (\varphi) = \dim (\ker (\varphi)) = 2$. От Теоремата за ранга и дефекта на линейно изображение в крайномерно пространство, $\rk (\varphi) := \dim (\im (\varphi)) = \dim(U) - \dim (\ker (\varphi)) = 3$. По Теорема, $\im (\varphi) = l(\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5))$. То тогава три непропорционални вектора от $\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5)$ образуват базис на $\im (\varphi)$. Избираме: \begin{align*} \varphi(e_1) = (1, -2, 2, -1, -1)^t, \quad \varphi(e_2) = (3, -1, 1, 2, 1)^t \quad\text{и}\quad \varphi(e_3) = (2, -3, 3, 0, -2)^t \end{align*} Ще намерим пространство от решения на $\im (\varphi)$. Решаваме матрица от коефициенти на базиса: \noindent \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 3 & 0 & -2 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред по -3 и събираме с втори.} \\ & \text{Умножаваме първи ред по -2 и събираме с трети.} \\ & \text{Разменяме втори и трети ред.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -5 & 5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме втори ред по -5 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи по 5, умножаваме трети по 3 и събираме с първи.} \\ & \text{Умножаваме втори по 5, умножаваме трети по 2 и събираме с втори.} \end{aligned} \end{align*} \begin{align*} & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Общото решение на хомогенната система решения е:} \\ & x_1 = -\frac{7x_5}{5}, \quad x_2 = \frac{5x_3 - 8 x_5}{5}, \quad x_4 = \frac{4x_5}{5} \quad \forall x_3, x_5 \in U \end{aligned} \end{align*} Нейна фундаментална система решения е: $(-7, -8, 0, 4, 5), \; (0, 1, 1, 0, 0)$. \hfill Базис на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ е матрица на хомогенните системи уравнения на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -7 & -8 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи по 7 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по} \\ & \text{8 и събираме с четвърти. Умножаваме втори по -1 и събираме с пети.} \\ & \text{Делим новополучилият се четвърти на 19. Умножаваме трети по -1 и} \\ & \text{събираме с новополучилият се пети. Чрез четвърти зануляваме} \\ & \text{четвърта колона на другите редове.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Общото решение на на получената система е:} \\ & x_1 = -x_5, \quad x_2 = x_5, \quad x_3 = -x_5, \quad x_4 = -x_5 \quad \forall x_5 \in U \\ & \text{Следователно, \answerbox{(-1, 1, -1, -1, 1)} е базис на } \ker (\varphi) \cap \im (\varphi) \end{aligned} \end{align*} Базис на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ е максимална линейно независима подсистема на базисите на $\ker (\varphi)$ и $\im (\varphi)$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrrr} -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 4 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме втори ред по -2 и събираме с първи. Умножаваме втори} \\ & \text{ред по 5 и събираме с трети. Събираме новополучилият се трети} \\ & \text{с четвърти. Събираме новополучилият се четвърти с пети. Делим} \\ & \text{пети на 19 и зануляваме дясната колона на другите редове.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 2 & -2 & -2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Делим първи ред на 2 и трети на 5. Събираме трети с първи.} \\ & \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с втори. Делим четвърти на} \\ & \text{пет и зануляваме четвъртата колона на другите редове. Умножаваме} \\ & \text{втори и трети ред по -1. Изпускаме първи ред.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Получената система е състои от четири ЛНЗ вектора, които са базис} \\ & \text{на } \ker (\varphi) + \im (\varphi): \answerbox{(1, 0, 0, 0, 0), \; (0, 1, -1, 0, 0), \; (0, 0, 0, 1, 0), \; (0, 0, 0, 0, 1)} \end{aligned} \end{align*} \end{document}