1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\newcommand{\ex}{2 Въпрос}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{03 Януари 2022}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
В линейно пространство $U$ над полето $\mathbb{Q}$ на рационалните числа са дадени базиси
\begin{align*}
e = (e_1, e_2) \text{ и } e' = (e_1', e_2') \quad \text{ с } \quad e_1' = e_1 + 3e_2, \quad e_2' = 2e_1 + 5e_2
\end{align*}
а в линейното пространство $V$ над $\mathbb{Q}$ са дадени базиси
\begin{align*}
f=(f_1, f_2, f_3) \text{ и } f'=(f_1', f_2', f_3') \quad \text{ с } \quad f_1 = f_1' + 3f_2' + 6f_3', \quad f_2 = -f_2'-2f_3', \quad f_3 = -f_1' - 4f_2' - 7f_3'
\end{align*}
Да разгледаме линейно изображение $\varphi : U \rightarrow V$, зададено чрез
\begin{align*}
\varphi (x_1 e_1' + x_2 e_2') = (2x_1 + 4x_2)f_1' + (6x_1 + 12x_2)f_2' + (14x_1 + 27x_2) f_3'
\end{align*}
за произволни $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$. Да се намери матрицата $A$ на $\varphi$ спрямо базиса $e = (e_1, e_2)$ на $U$ и базиса $f=(f_1, f_2, f_3)$ на $V$.
\paragraph{Решение:}
Нека $e' = e T', \quad e = e' T, \quad f = f'S$ и $A'$ е матрицата на $\varphi$ спрямо базиса $e'$ и $f'$.
\begin{align*}
& \text{От условие, извеждаме че } T' = \left( \begin{array}{rr}
1 & 2 \\
3 & 5
\end{array} \right).
\quad e = e'T = eT'T \quad E_2 = T'T \quad \left( \begin{array}{rr}
1 & 2 \\
3 & 5
\end{array} \right) T = \left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \\
& \left( \begin{array}{rr|rr}
1 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 5 & 0 & 1
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред по -3 и събираме с втори. Умножаваме втори по 2 и} \\
& \text{събираме с първи. Умножаваме втори по -1.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rr|rr}
1 & 0 & -5 & 2 \\
0 & 1 & 3 & -1
\end{array} \right)
\quad \text{Следователно } T = \left( \begin{array}{rr}
-5 & 2 \\
3 & -1
\end{array} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
& \text{От условие, извеждаме че } S = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
3 & -1 & -4 \\
6 & -2 & -7
\end{array} \right).
\quad SS^{-1} = E_3 \quad \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
3 & -1 & -4 \\
6 & -2 & -7
\end{array} \right) S^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \\
& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & -1 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
6 & -2 & -7 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме втори ред по -2 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с втори.}
\end{aligned} \\
& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Събираме трети ред с първи и втори. Умножаваме втори по -1.}
\end{aligned} \\
& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1
\end{array} \right)
\quad \text{Следователно } S^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
0 & -2 & 1
\end{array} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
& \text{От условие, извеждаме че } A' = \left( \begin{array}{rr}
2 & 4 \\
6 & 12 \\
14 & 27
\end{array} \right).
\quad \text{По Теорема, } A = S^{-1}AT = \\
& = \left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 1 \\
3 & 1 & -1 \\
0 & -2 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
2 & 4 \\
6 & 12 \\
14 & 27
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
-5 & 2 \\
3 & -1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr}
4 & 7 \\
-2 & -3 \\
2 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
-5 & 2 \\
3 & -1
\end{array} \right) = \answerbox{
\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array} \right)
}
\end{align*}
\end{document}
|
