% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\newcommand{\ex}{2 Въпрос}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{03 Януари 2022}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}

В линейно пространство $U$ над полето $\mathbb{Q}$ на рационалните числа са дадени базиси
\begin{align*}
	e = (e_1, e_2) \text{ и } e' = (e_1', e_2') \quad \text{ с } \quad e_1' = e_1 + 3e_2, \quad e_2' = 2e_1 + 5e_2
\end{align*}
а в линейното пространство $V$ над $\mathbb{Q}$ са дадени базиси
\begin{align*}
	f=(f_1, f_2, f_3) \text{ и } f'=(f_1', f_2', f_3') \quad \text{ с } \quad f_1 = f_1' + 3f_2' + 6f_3', \quad f_2 = -f_2'-2f_3', \quad f_3 = -f_1' - 4f_2' - 7f_3'
\end{align*}
Да разгледаме линейно изображение $\varphi : U \rightarrow V$, зададено чрез
\begin{align*}
	\varphi (x_1 e_1' + x_2 e_2') = (2x_1 + 4x_2)f_1' + (6x_1 + 12x_2)f_2' + (14x_1 + 27x_2) f_3'
\end{align*}
за произволни $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$. Да се намери матрицата $A$ на $\varphi$ спрямо базиса $e = (e_1, e_2)$ на $U$ и базиса $f=(f_1, f_2, f_3)$ на $V$.

\paragraph{Решение:}

Нека $e' = e T', \quad e = e' T, \quad f = f'S$ и $A'$ е матрицата на $\varphi$ спрямо базиса $e'$ и $f'$.
\begin{align*}
	& \text{От условие, извеждаме че } T' = \left( \begin{array}{rr}
		1 & 2 \\
		3 & 5
	\end{array} \right).
	\quad e = e'T = eT'T \quad E_2 = T'T \quad \left( \begin{array}{rr}
		1 & 2 \\
		3 & 5
	\end{array} \right) T = \left( \begin{array}{rr}
		1 & 0 \\
		0 & 1
	\end{array} \right) \\
	& \left( \begin{array}{rr|rr}
		1 & 2 & 1 & 0 \\
		3 & 5 & 0 & 1
	\end{array} \right)
	\quad \begin{aligned}
		& \text{Умножаваме първи ред по -3 и събираме с втори. Умножаваме втори по 2 и} \\
		& \text{събираме с първи. Умножаваме втори по -1.}
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{rr|rr}
		1 & 0 & -5 & 2 \\
		0 & 1 & 3 & -1
	\end{array} \right)
	\quad \text{Следователно } T = \left( \begin{array}{rr}
		-5 & 2 \\
		3 & -1
	\end{array} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
	& \text{От условие, извеждаме че } S = \left( \begin{array}{rrr}
		1 & 0 & -1 \\
		3 & -1 & -4 \\
		6 & -2 & -7
	\end{array} \right).
	\quad SS^{-1} = E_3 \quad \left( \begin{array}{rrr}
		1 & 0 & -1 \\
		3 & -1 & -4 \\
		6 & -2 & -7
	\end{array} \right) S^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
		1 & 0 & 0 \\
		0 & 1 & 0 \\
		0 & 0 & 1
	\end{array} \right) \\
	& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
		1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
		3 & -1 & -4 & 0 & 1 & 0 \\
		6 & -2 & -7 & 0 & 0 & 1
	\end{array} \right)
	\quad \begin{aligned}
		& \text{Умножаваме втори ред по -2 и събираме с трети.} \\
		& \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с втори.}
	\end{aligned} \\
	& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
		1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
		0 & -1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\
		0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1
	\end{array} \right)
	\quad \begin{aligned}
		& \text{Събираме трети ред с първи и втори. Умножаваме втори по -1.}
	\end{aligned} \\
	& \left( \begin{array}{rrr|rrr}
		1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\
		0 & 1 & 0 & 3 & 1 & -1 \\
		0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1
	\end{array} \right)
	\quad \text{Следователно } S^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
		1 & -2 & 1 \\
		3 & 1 & -1 \\
		0 & -2 & 1
	\end{array} \right)
\end{align*}
\begin{align*}
	& \text{От условие, извеждаме че } A' = \left( \begin{array}{rr}
		2 & 4 \\
		6 & 12 \\
		14 & 27
	\end{array} \right).
	\quad \text{По Теорема, } A = S^{-1}AT = \\
	& = \left( \begin{array}{rrr}
		1 & -2 & 1 \\
		3 & 1 & -1 \\
		0 & -2 & 1
	\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
		2 & 4 \\
		6 & 12 \\
		14 & 27
	\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
		-5 & 2 \\
		3 & -1
	\end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr}
		4 & 7 \\
		-2 & -3 \\
		2 & 3
	\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
		-5 & 2 \\
		3 & -1
	\end{array} \right) = \answerbox{
		\left( \begin{array}{rr}
			1 & 1 \\
			1 & -1 \\
			-1 & 1
		\end{array} \right)
	}
\end{align*}

\end{document}