1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\newcommand{\ex}{1 Въпрос}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{03 Януари 2022}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
В пространството $F^4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени линейна обвивка $U = l(a_1, a_2)$ на векторите
\begin{align*}
a_1 = (3, -1, -1, 1) \quad a_2 = (-1, 1, -3, 3)
\end{align*}
и пространство от решения $W$ на хомогенна система линейни уравнения
\begin{align*}
\left| \begin{array}{rrrrrr}
x_1 & -2x_2 & +x_3 & +5x_4 & = & 0 \\
2x_1 & -x_2 & -3x_3 & +2x_4 & = & 0
\end{array} \right.
\end{align*}
Да се намерят базиси на сечението $U \cap W$ и на сумата $U + W$.
\paragraph{Решение:}
Търсим базис на $W$. Съставяме следната матрица от коефициенти на решения:
\begin{align*}
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 5 \\
2 & -1 & -3 & 2
\end{array} \right)
\sim \left( \begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 1 & 5 \\
0 & 3 & -5 & -8
\end{array} \right)
\sim \left( \begin{array}{rrrr}
3 & 0 & -7 & -1 \\
0 & 3 & -5 & -8
\end{array} \right)
\end{align*}
$x_3$ и $x_4$ са свободни променливи. Тогава съставяме фундаментална система решения:
\begin{align*}
& x_3 = 0 \quad x_4 = 3 \implies x_1 = 1 \quad x_2 = 8 \quad (1, 8, 0, 3) \\
& x_3 = 3 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 7 \quad x_2 = 5 \quad (7, 5, 3, 0)
\end{align*}
Разглеждаме матрицата от базисите на $U$ и $W$:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrr}
3 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -3 & 3 \\
1 & 8 & 0 & 3 \\
7 & 5 & 3 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Събираме втори ред с трети. Умножаваме втори по 3 и събираме първи.} \\
& \text{Умножаваме втори по 7 и събираме с четвърти.} \\
& \text{Делим първи ред на 2. Делим трети и четвърти на 3}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & -5 & 5 \\
-1 & 1 & -3 & 3 \\
0 & 3 & -1 & 2 \\
0 & 4 & -6 & 7
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи по -1 и събираме с втори.} \\
& \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с трети.} \\
& \text{Умонжаваме първи по -4 и събираме с четвърти.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & -5 & 5 \\
-1 & 0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 14 & -13 \\
0 & 0 & 14 & -13
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с четвърти.} \\
& \text{Умножаваме първи и втори ред по 14. Умножаваме трети по 5 и} \\
& \text{събираме с първи. Умножаваме трети по -2 и събираме с втори.} \\
& \text{Умножаваме втори по -1. Разменяме първи и втори ред.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
14 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 14 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 14 & -13 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Следователно базис на } U + W \text{ е: } \answerbox{(14, 0, 0, 2), (0, 14, 0, 5), (0, 0, 14, -13)}
\end{aligned}
\end{align*}
Търсим фундаментална система решения на $U$:
\begin{align*}
\left( \begin{array}{rrrr}
3 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -3 & 3 \\
\end{array} \right)
\sim \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 2 & -10 & 10 \\
-1 & 1 & -3 & 3 \\
\end{array} \right)
\sim \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & -5 & 5 \\
-1 & 1 & -3 & 3 \\
\end{array} \right)
\sim \left( \begin{array}{rrrr}
0 & 1 & -5 & 5 \\
-1 & 0 & 2 & -2 \\
\end{array} \right)
\end{align*}
$x_3$ и $x_4$ са независими променливи. Съставяме фундаментална система решения:
\begin{align*}
& x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \implies x_1 = -2 \quad x_2 = -5 \quad (-2, -5, 0, 1) \\
& x_3 = 1 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = 5 \quad (2, 5, 1, 0)
\end{align*}
Разглеждаме матрица от фундаменталните системи решения на $U$ и $W$:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{rrrr}
-2 & -5 & 0 & 1 \\
2 & 5 & 1 & 0 \\
3 & 0 & -7 & -1 \\
0 & 3 & -5 & -8
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Събираме първи ред с втори. Умножаваме трети по 2.} \\
& \text{Умножаваме първи по 3 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме втори ред по -14 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме втори по -5 и събираме с четвърти.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
-2 & -5 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & -15 & -28 & -13 \\
0 & 3 & -10 & -13
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме четвърти ред по 5 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме втори ред по 78 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме втори ред по 10 и събираме с четвърти.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
-2 & -5 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -3
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред по 3. Умножаваме четвърти по 5 и събираме} \\
& \text{с първи. Делим първи на -6. Делим четвърти на 3.} \\
& \text{Разменяме трети с четвърти и втори с трети.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
\quad \begin{aligned}
& \text{Матрицата е несъвместима със свободен член } x_4 = p \text{. Пресмятаме, че:} \\
& \quad x_1 = -2p, \; x_2 = p, \; x_3 = -p \\
& \; \implies \text{Базис на } U \cap W \text{ е: } \answerbox{(-2p, p, -p, p)} \text{ за произволно } p \in F
\end{aligned}
\end{align*}
\end{document}
|
