% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=1.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate]{label=\arabic*.} \newcommand{\ex}{1 Въпрос} \usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021}, pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}, pdfsubject={}, pdfkeywords={}, colorlinks=true, urlcolor=blue]{hyperref} \title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{03 Януари 2022} \begin{document} \maketitle \noindent \colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}} \paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}} В пространството $F^4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени линейна обвивка $U = l(a_1, a_2)$ на векторите \begin{align*} a_1 = (3, -1, -1, 1) \quad a_2 = (-1, 1, -3, 3) \end{align*} и пространство от решения $W$ на хомогенна система линейни уравнения \begin{align*} \left| \begin{array}{rrrrrr} x_1 & -2x_2 & +x_3 & +5x_4 & = & 0 \\ 2x_1 & -x_2 & -3x_3 & +2x_4 & = & 0 \end{array} \right. \end{align*} Да се намерят базиси на сечението $U \cap W$ и на сумата $U + W$. \paragraph{Решение:} Търсим базис на $W$. Съставяме следната матрица от коефициенти на решения: \begin{align*} \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & -3 & 2 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & -5 & -8 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr} 3 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & -8 \end{array} \right) \end{align*} $x_3$ и $x_4$ са свободни променливи. Тогава съставяме фундаментална система решения: \begin{align*} & x_3 = 0 \quad x_4 = 3 \implies x_1 = 1 \quad x_2 = 8 \quad (1, 8, 0, 3) \\ & x_3 = 3 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 7 \quad x_2 = 5 \quad (7, 5, 3, 0) \end{align*} Разглеждаме матрицата от базисите на $U$ и $W$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrr} 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \\ 1 & 8 & 0 & 3 \\ 7 & 5 & 3 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме втори ред с трети. Умножаваме втори по 3 и събираме първи.} \\ & \text{Умножаваме втори по 7 и събираме с четвърти.} \\ & \text{Делим първи ред на 2. Делим трети и четвърти на 3} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -6 & 7 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи по -1 и събираме с втори.} \\ & \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с трети.} \\ & \text{Умонжаваме първи по -4 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -5 & 5 \\ -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 14 & -13 \\ 0 & 0 & 14 & -13 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с четвърти.} \\ & \text{Умножаваме първи и втори ред по 14. Умножаваме трети по 5 и} \\ & \text{събираме с първи. Умножаваме трети по -2 и събираме с втори.} \\ & \text{Умножаваме втори по -1. Разменяме първи и втори ред.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} 14 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 14 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 14 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Следователно базис на } U + W \text{ е: } \answerbox{(14, 0, 0, 2), (0, 14, 0, 5), (0, 0, 14, -13)} \end{aligned} \end{align*} Търсим фундаментална система решения на $U$: \begin{align*} \left( \begin{array}{rrrr} 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 2 & -10 & 10 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -3 & 3 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & -5 & 5 \\ -1 & 0 & 2 & -2 \\ \end{array} \right) \end{align*} $x_3$ и $x_4$ са независими променливи. Съставяме фундаментална система решения: \begin{align*} & x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \implies x_1 = -2 \quad x_2 = -5 \quad (-2, -5, 0, 1) \\ & x_3 = 1 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = 5 \quad (2, 5, 1, 0) \end{align*} Разглеждаме матрица от фундаменталните системи решения на $U$ и $W$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrr} -2 & -5 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & -8 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме първи ред с втори. Умножаваме трети по 2.} \\ & \text{Умножаваме първи по 3 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по -14 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори по -5 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} -2 & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -15 & -28 & -13 \\ 0 & 3 & -10 & -13 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме четвърти ред по 5 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по 78 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме втори ред по 10 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} -2 & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -3 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред по 3. Умножаваме четвърти по 5 и събираме} \\ & \text{с първи. Делим първи на -6. Делим четвърти на 3.} \\ & \text{Разменяме трети с четвърти и втори с трети.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Матрицата е несъвместима със свободен член } x_4 = p \text{. Пресмятаме, че:} \\ & \quad x_1 = -2p, \; x_2 = p, \; x_3 = -p \\ & \; \implies \text{Базис на } U \cap W \text{ е: } \answerbox{(-2p, p, -p, p)} \text{ за произволно } p \in F \end{aligned} \end{align*} \end{document}