1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\newcommand{\ex}{2 Въпрос}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
Да се пресметне детерминантата
\begin{align*}
\Delta_{n+1} = \left| \begin{array}{cccc}
(x+a_1)^n & (x+a_2)^n & \cdots & (x + a_{n+1})^n \\
(x+a_1)^{n-1} & (x+a_2)^{n-1} & \cdots & (x + a_{n+1})^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(x+a_1)^2 & (x+a_2)^2 & \cdots & (x + a_{n+1})^2 \\
x+a_1 & x+a_2 & \cdots & x+a_{n+1} \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array} \right|
\end{align*}
за произволно неотрицателно цяло число $n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ и произволни рационални числа $x, a_1, a_2, ..., a_{n+1} \in \mathbb{Q}$
\paragraph{Решение:}
Разменяме първи ред с последния, втори ред с предпоследния и так. нат. Ако $n+1$ е нечетно, не правим нищо със средния ред, тоест правим общо $\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor$ размени на редовете. Полагаме $y_i = x + a_i, \; i \in \{ 1, 2, ..., n+1 \}$. Получаваме:
\begin{align*}
(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left| \begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
y_1 & y_2 & \cdots & y_{n+1} \\
y_1^2 & y_2^2 & \cdots & y_{n+1}^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
y_1^{n - 1} & y_2^{n - 1} & \cdots & y_{n+1}^{n - 1} \\
y_1^n & y_2^n & \cdots & y_{n+1}^n
\end{array} \right|
\end{align*}
Това е детерминантата на Вандермонд относно $y_i$ : $W(y_1, y_2, ..., y_{n+1})$. От упражнения знаем, че тя е равна на $\prod\limits_{j = 1}^{n} \left( \prod\limits_{i = j + 1}^{n+1} (y_i - y_j) \right) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (y_i - y_j) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (x + a_i - (x - a_j)) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j)$.
\begin{align*}
\text{Следователно } \quad \Delta_{n+1} = \answerbox{(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left( \prod_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j) \right)}
\end{align*}
\end{document}
|
