% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\newcommand{\ex}{2 Въпрос}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}

Да се пресметне детерминантата
\begin{align*}
	\Delta_{n+1} = \left| \begin{array}{cccc}
		(x+a_1)^n & (x+a_2)^n & \cdots & (x + a_{n+1})^n \\
		(x+a_1)^{n-1} & (x+a_2)^{n-1} & \cdots & (x + a_{n+1})^{n-1} \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		(x+a_1)^2 & (x+a_2)^2 & \cdots & (x + a_{n+1})^2 \\
		x+a_1 & x+a_2 & \cdots & x+a_{n+1} \\
		1 & 1 & \cdots & 1
	\end{array} \right|
\end{align*}
за произволно неотрицателно цяло число $n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ и произволни рационални числа $x, a_1, a_2, ..., a_{n+1} \in \mathbb{Q}$

\paragraph{Решение:}

Разменяме първи ред с последния, втори ред с предпоследния и так. нат. Ако $n+1$ е нечетно, не правим нищо със средния ред, тоест правим общо $\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor$ размени на редовете. Полагаме $y_i = x + a_i, \; i \in \{ 1, 2, ..., n+1 \}$. Получаваме:
\begin{align*}
	(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left| \begin{array}{cccc}
		1 & 1 & \cdots & 1 \\
		y_1 & y_2 & \cdots & y_{n+1} \\
		y_1^2 & y_2^2 & \cdots & y_{n+1}^2 \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		y_1^{n - 1} & y_2^{n - 1} & \cdots & y_{n+1}^{n - 1} \\
		y_1^n & y_2^n & \cdots & y_{n+1}^n
	\end{array} \right|
\end{align*}

Това е детерминантата на Вандермонд относно $y_i$ : $W(y_1, y_2, ..., y_{n+1})$. От упражнения знаем, че тя е равна на $\prod\limits_{j = 1}^{n} \left( \prod\limits_{i = j + 1}^{n+1} (y_i - y_j) \right) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (y_i - y_j) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (x + a_i - (x - a_j)) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j)$.
\begin{align*}
	\text{Следователно } \quad \Delta_{n+1} = \answerbox{(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left( \prod_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j) \right)}
\end{align*}

\end{document}