1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
\newcommand{\ex}{1 Въпрос}
\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
pdfsubject={},
pdfkeywords={},
colorlinks=true,
urlcolor=blue]{hyperref}
\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{\; 0,50/1,00 Точки \qquad Идеално сте оформили решението, но не сте разгелдали случаите на b=0 и a=d}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
Да се пресметне детерминантата
\begin{align*}
\Delta_n =
\left| \begin{array}{ccccccc}
a & b & b & b & \cdots & b & b \\
c & a & d & d & \cdots & d & d \\
c & d & a & d & \cdots & d & d \\
c & d & d & a & \cdots & d & d \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
c & d & d & d & \cdots & a & d \\
c & d & d & d & \cdots & d & a
\end{array} \right|
\end{align*}
от ред $n \in \mathbb{N}$ с комплексни елементи $a, b, c, d \in \mathbb{C}$
\paragraph{Решение:}
Умножавме първи ред по $-\frac{d}{b}$ и събираме с всички други редове. Получаваме:
\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccccccc}
a & b & b & b & \cdots & b & b \\
c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
\end{array}
\right|
\end{align*}
След това, умножаваме последния ред по $-\frac{b}{a - d}$ и събираме с първия, умножаваме предпоследния със същата дроб и събираме с първия и так. нат. до втория ред включително. Общо правим $n-1$ умножения и събирания с първия ред. Резултатът е:
\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccccccc}
A & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
\end{array}
\right|
\end{align*}
\begin{align*}
\text{Където } A & = a + (n-1)\left[ \left( c - \frac{ad}{b} \right) \cdot \left( -\frac{b}{a - d} \right) \right] = a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right)
\end{align*}
Детерминантата е триъгълна относно вторичния диагонал, следователно:
\begin{align*}
\Delta_n = \answerbox{\left[ a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right) \right] (a - d)^{n - 1}}
\end{align*}
\end{document}
|
