% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}

\newcommand{\ex}{1 Въпрос}

\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
		    pdfsubject={},
		    pdfkeywords={},
		    colorlinks=true,
		    urlcolor=blue]{hyperref}

\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{RedOrange}{\parbox{\textwidth}{\; 0,50/1,00 Точки \qquad Идеално сте оформили решението, но не сте разгелдали случаите на b=0 и a=d}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}

Да се пресметне детерминантата
\begin{align*}
	\Delta_n = 
	\left| \begin{array}{ccccccc}
		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
		c & a & d & d & \cdots & d & d \\
		c & d & a & d & \cdots & d & d \\
		c & d & d & a & \cdots & d & d \\
		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
		c & d & d & d & \cdots & a & d \\
		c & d & d & d & \cdots & d & a
	\end{array} \right|
\end{align*}
от ред $n \in \mathbb{N}$ с комплексни елементи $a, b, c, d \in \mathbb{C}$

\paragraph{Решение:}

Умножавме първи ред по $-\frac{d}{b}$ и събираме с всички други редове. Получаваме:
\begin{align*}
	\left| \begin{array}{ccccccc}
		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
	\end{array}
	\right|
\end{align*}
	
След това, умножаваме последния ред по $-\frac{b}{a - d}$ и събираме с първия, умножаваме предпоследния със същата дроб и събираме с първия и так. нат. до втория ред включително. Общо правим $n-1$ умножения и събирания с първия ред. Резултатът е:
\begin{align*}
	\left| \begin{array}{ccccccc}
		A & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
	\end{array}
	\right|
\end{align*}
\begin{align*}
	\text{Където } A & = a + (n-1)\left[ \left( c - \frac{ad}{b} \right) \cdot \left( -\frac{b}{a - d} \right) \right] = a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right)
\end{align*}

Детерминантата е триъгълна относно вторичния диагонал, следователно:
\begin{align*}
	\Delta_n = \answerbox{\left[ a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right) \right] (a - d)^{n - 1}}
\end{align*}

\end{document}