1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{hyperref} % Линкове
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 4 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{Goldenrod}{\parbox{\textwidth}{0,75/1,00 Точки \qquad Коментар: Не сте доказали, че директната сума $U \oplus W$ съвпада с всички полиноми на x от степен най-много 4.}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{4 Въпрос}}
В пространството $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ на полиномите на $x$ от степен $\leq 4$ с реални \newline коефициенти са дадени подмножества
\begin{align*}
U & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = f(2) = f(-2) = 0 \right\} \text{ и } \\
W & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = 2f'(1), \: f(3) = 0 \right\} \text{.}
\end{align*}
Да се докаже, че $U$ и $W$ са подпространства на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} = U \oplus W$ е тяхната директна сума.
\paragraph{Решение:}
За произволни полиноми $f, g \in U$ е в сила
\begin{align*}
& (f + g)(1) = f(1) + g(1) = f(2) + g(2) = (f + g)(2) \\
& (f + g)(2) = f(2) + g(2) = f(-2) + g(-2) = (f + g)(-2) \\
& (f + g)(-2) = f(-2) + g(-2) = 0 + 0 = 0 \\
& \implies (f + g) \in U
\end{align*}
За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила
\begin{align*}
& (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot f(2) = (rf)(2) \\
& (rf)(2) = r \cdot f(2) = r \cdot f(-2) = (rf)(-2) \\
& (rf)(-2) = r \cdot f(-2) = r \cdot 0 = 0 \\
& \implies (rf) \in U
\end{align*}
$\implies$ \colorbox{yellow}{$U$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$}
\hfill
\noindent
За поризволни полиноми $f, g \in W$ е в сила
\begin{align*}
& (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2f'(1) + 2g'(1) = 2(f' + g')(1) \\
& (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0 \\
& \implies (f + g) \in W
\end{align*}
За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила
\begin{align*}
& (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot 2f'(1) = 2(rf')(1) \\
& (rf)(3) = r \cdot f(3) = r \cdot 0 = 0 \\
& \implies (rf) \in W
\end{align*}
$\implies$ \colorbox{yellow}{$W$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$}
\hfill
\noindent
Сумата $U + W$ е директна, тогава и само тогава когато сечението $U \cap W = {0}$ се изчерпва от тъждествено нулевия полином $0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$. \newline
Ако $f(x) \in U \cap W$, то $f(1) = f(2) = f(-2) = 0$, $f(1) = 2f'(1) = 0$ и $f(3) = 0$.
\noindent
Следователно, коефициентите $a_i \in \mathbb{R}$ на полинома $f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и на неговата производна $f(x) = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$ изпъляват равенствата
\begin{align*}
\begin{array}{ccllcc}
f(1) & = & a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 & = 0 \\
f(2) & = & a_4 \cdot 16 + a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 + a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\
f(-2) & = & a_4 \cdot 16 - a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 - a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\
f'(1) & = & 4 a_4 + 3a_3 + 2a_2 + a_1 & = 0 \\
f(3) & = & a_4 \cdot 81 + a_3 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 + a_0 & = 0
\end{array}
\end{align*}
Тоест, $(a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) \in \mathbb{R} ^ 5$ е решение на хомогенна система линейни уравнения с матрица от коефициенти:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\
16 & -8 & 4 & -2 & 1 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
81 & 27 & 9 & 3 & 1 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред с -4 и го събираме с четвърти ред.} \\
& \text{Умножаваме първи ред с -81 и го събираме с пети ред.} \\
& \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с трети ред.} \\
& \text{Умножаваме първи ред с -16 и го събираме с втори ред.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\
0 & -16 & 0 & -4 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
0 & -54 & -72 & -78 & -80 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Делим трети ред на -4.} \\
& \text{Делим четвърти ред на -1.} \\
& \text{Делим четвърти прети ред на -2.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\
0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 27 & 36 & 39 & 40 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме четвърти ред с 8 и събираме с втори.} \\
& \text{Умножаваме четвърти ред с -4 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме четвърти ред с -27 и събираме с пети.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\
0 & 0 & -8 & -11 & -16 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & -18 & -42 & -68 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме втори ред с 2 и събираме с трети.} \\
& \text{Умножаваме пети ред с -2.} \\
& \text{Умножаваме втори ред с -9.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -36 & -90 & -153 \\
0 & 0 & 0 & 9 & 18 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 36 & 84 & 136 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Събираме втори ред с пети. Делим втори ред на -9.} \\
& \text{Умножаваме трети ред с 6.} \\
& \text{Умножаваме пети ред с 9.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\
0 & 0 & 0 & 54 & 108 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 0 & -54 & -153 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Събираме трети ред с пети. Делим пети ред с -45.} \\
& \text{Умножаваме и събираме пети ред с другите редове,} \\
& \text{така че в десния стълб на тези редове да останат нули.} \\
\end{aligned}
\end{align*}
Чрез поредица от аналогични действия за другите редове и чрез размяна на втори с четвърти и трети с четвърти ред, системата се свежда до Гаус-Жорданов вид.
\noindent
Следователно $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$, което означава, че $U \cap W = \{0\}$ и \colorbox{yellow}{сумата $U \oplus W$} \colorbox{yellow}{е директна}.
\end{document}
|
