% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{hyperref} % Линкове \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 4 Въпрос.} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{12 Ноември 2021} \begin{document} \maketitle \noindent \colorbox{Goldenrod}{\parbox{\textwidth}{0,75/1,00 Точки \qquad Коментар: Не сте доказали, че директната сума $U \oplus W$ съвпада с всички полиноми на x от степен най-много 4.}} \paragraph{\colorbox{yellow}{4 Въпрос}} В пространството $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ на полиномите на $x$ от степен $\leq 4$ с реални \newline коефициенти са дадени подмножества \begin{align*} U & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = f(2) = f(-2) = 0 \right\} \text{ и } \\ W & = \left\{ f(x) \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} \mid f(1) = 2f'(1), \: f(3) = 0 \right\} \text{.} \end{align*} Да се докаже, че $U$ и $W$ са подпространства на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)} = U \oplus W$ е тяхната директна сума. \paragraph{Решение:} За произволни полиноми $f, g \in U$ е в сила \begin{align*} & (f + g)(1) = f(1) + g(1) = f(2) + g(2) = (f + g)(2) \\ & (f + g)(2) = f(2) + g(2) = f(-2) + g(-2) = (f + g)(-2) \\ & (f + g)(-2) = f(-2) + g(-2) = 0 + 0 = 0 \\ & \implies (f + g) \in U \end{align*} За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила \begin{align*} & (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot f(2) = (rf)(2) \\ & (rf)(2) = r \cdot f(2) = r \cdot f(-2) = (rf)(-2) \\ & (rf)(-2) = r \cdot f(-2) = r \cdot 0 = 0 \\ & \implies (rf) \in U \end{align*} $\implies$ \colorbox{yellow}{$U$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$} \hfill \noindent За поризволни полиноми $f, g \in W$ е в сила \begin{align*} & (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2f'(1) + 2g'(1) = 2(f' + g')(1) \\ & (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 0 + 0 = 0 \\ & \implies (f + g) \in W \end{align*} За произволен полином $f \in U$ и произволно реално число $r \in \mathbb{R}$ е в сила \begin{align*} & (rf)(1) = r \cdot f(1) = r \cdot 2f'(1) = 2(rf')(1) \\ & (rf)(3) = r \cdot f(3) = r \cdot 0 = 0 \\ & \implies (rf) \in W \end{align*} $\implies$ \colorbox{yellow}{$W$ е подпространство на $\mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$} \hfill \noindent Сумата $U + W$ е директна, тогава и само тогава когато сечението $U \cap W = {0}$ се изчерпва от тъждествено нулевия полином $0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$. \newline Ако $f(x) \in U \cap W$, то $f(1) = f(2) = f(-2) = 0$, $f(1) = 2f'(1) = 0$ и $f(3) = 0$. \noindent Следователно, коефициентите $a_i \in \mathbb{R}$ на полинома $f(x) = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 \in \mathbb{R}\left[ x \right] ^ {(\leq 4)}$ и на неговата производна $f(x) = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$ изпъляват равенствата \begin{align*} \begin{array}{ccllcc} f(1) & = & a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0 & = 0 \\ f(2) & = & a_4 \cdot 16 + a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 + a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\ f(-2) & = & a_4 \cdot 16 - a_3 \cdot 8 + a_2 \cdot 4 - a_1 \cdot 2 + a_0 & = 0 \\ f'(1) & = & 4 a_4 + 3a_3 + 2a_2 + a_1 & = 0 \\ f(3) & = & a_4 \cdot 81 + a_3 \cdot 27 + a_2 \cdot 9 + a_1 \cdot 3 + a_0 & = 0 \end{array} \end{align*} Тоест, $(a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) \in \mathbb{R} ^ 5$ е решение на хомогенна система линейни уравнения с матрица от коефициенти: \begin{align*} & \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\ 16 & -8 & 4 & -2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 81 & 27 & 9 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред с -4 и го събираме с четвърти ред.} \\ & \text{Умножаваме първи ред с -81 и го събираме с пети ред.} \\ & \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с трети ред.} \\ & \text{Умножаваме първи ред с -16 и го събираме с втори ред.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\ 0 & -16 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & -54 & -72 & -78 & -80 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Делим трети ред на -4.} \\ & \text{Делим четвърти ред на -1.} \\ & \text{Делим четвърти прети ред на -2.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -12 & -14 & -15 \\ 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 27 & 36 & 39 & 40 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме четвърти ред с 8 и събираме с втори.} \\ & \text{Умножаваме четвърти ред с -4 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме четвърти ред с -27 и събираме с пети.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\ 0 & 0 & -8 & -11 & -16 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -18 & -42 & -68 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме втори ред с 2 и събираме с трети.} \\ & \text{Умножаваме пети ред с -2.} \\ & \text{Умножаваме втори ред с -9.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -36 & -90 & -153 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 18 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 36 & 84 & 136 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме втори ред с пети. Делим втори ред на -9.} \\ & \text{Умножаваме трети ред с 6.} \\ & \text{Умножаваме пети ред с 9.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 10 & 17 \\ 0 & 0 & 0 & 54 & 108 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -54 & -153 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме трети ред с пети. Делим пети ред с -45.} \\ & \text{Умножаваме и събираме пети ред с другите редове,} \\ & \text{така че в десния стълб на тези редове да останат нули.} \\ \end{aligned} \end{align*} Чрез поредица от аналогични действия за другите редове и чрез размяна на втори с четвърти и трети с четвърти ред, системата се свежда до Гаус-Жорданов вид. \noindent Следователно $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$, което означава, че $U \cap W = \{0\}$ и \colorbox{yellow}{сумата $U \oplus W$} \colorbox{yellow}{е директна}. \end{document}