1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{hyperref} % Линкове
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 3 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{3 Въпрос}}
В пространството $\mathbb{Q} ^ 5$ на наредените петорки рационални числа са дадени векторите
\begin{align*}
& a_1 = (1,-1,2,3,4), \; a_2 = (3,1,-2,1,-1), \; a_3 = (2,-3,1,-1,1).
\end{align*}
Да се докаже, че $a_1, a_2, a_3$ е линейно независима система вектори и да се допълни тази система до базис на $\mathbb{Q}^5$.
\paragraph{Решение:}
Дадените вектори образуват следната система от вектори:
\begin{align*}
& \left| \begin{array}{ccccccc}
x_1 & -x_2 & 2x_3 & 3x_4 & 4x_5 & = & 0 \\
3x_1 & x_2 & -2x_3 & x_4 & -x_5 & = & 0 \\
2x_1 & -3x_2 & x_3 & -x_4 & x_5 & = & 0 \\
\end{array} \right. \quad
\begin{aligned}
& \text{} \\
\end{aligned}
\end{align*}
Което се свежда до следната матрица от коефициенти:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & -2 & 1 & -1 \\
2 & -3 & 1 & -1 & 1 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред с -3 и го събираме с втори ред.} \\
& \text{Умножаваме първи ред с -2 и го събираме с трети ред.} \\
& \text{Разменяме втори ред с трети.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
0 & 4 & -8 & -8 & -13 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме втори ред с 4 и го събираме с трети ред.} \\
& \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с първи ред.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 5 & 10 & 11 \\
0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
0 & 0 & -20 & -36 & -41 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме първи ред с 12, втори ред с -20} \\
& \text{и трети ред с -3.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
12 & 0 & 60 & 120 & 132 \\
0 & 20 & 60 & 140 & 140 \\
0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме трети ред с -1 и го събираме с} \\
& \text{първи и втори ред.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
12 & 0 & 0 & 12 & 9 \\
0 & 20 & 0 & 32 & 17 \\
0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Делим първи ред с 12, втори ред с 20 и трети ред с 60.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\
\hfill \\[-8pt]
0 & 1 & 0 & \frac{8}{5} &\frac{17}{20} \\
\hfill \\[-8pt]
0 & 0 & 1 & \frac{9}{5} & \frac{41}{20} \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Матрицата е в Гаус-Жорданов вид.} \\
& \implies \colorbox{yellow}{$a_1, a_2, a_3$ са линейно независими вектори}
\end{aligned}
\end{align*}
Избираме поизволен $a_4 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3 \right)$ и произволен $a_5 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3, a_4 \right)$:
\begin{align*}
a_4 = \left( 0, 0, 0, 1, 0 \right) \;,\quad a_5 = \left( 0, 0, 0, 0, 1 \right)
\end{align*}
От Лемата за линейна независимост, следва че $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ са линейно независими.
\noindent
От $\dim \left( \mathbb{Q}^5 \right) = 5$, знаем че всеки базис на $\mathbb{Q} ^ 5$ е съставен от пет линейно независими вектора. \linebreak
$ \implies$ \colorbox{yellow}{$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ е базис на $\mathbb{Q} ^ 5$}
\end{document}
|
