% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{hyperref}           % Линкове
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове

\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 3 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{3 Въпрос}}

В пространството $\mathbb{Q} ^ 5$ на наредените петорки рационални числа са дадени векторите 
\begin{align*}
	& a_1 = (1,-1,2,3,4), \; a_2 = (3,1,-2,1,-1), \; a_3 = (2,-3,1,-1,1).
\end{align*}
Да се докаже, че $a_1, a_2, a_3$ е линейно независима система вектори и да се допълни тази система до базис на $\mathbb{Q}^5$.

\paragraph{Решение:}

Дадените вектори образуват следната система от вектори:
\begin{align*}
	& \left| \begin{array}{ccccccc}
		x_1 & -x_2 & 2x_3 & 3x_4 & 4x_5 & = & 0 \\
		3x_1 & x_2 & -2x_3 & x_4 & -x_5 & = & 0 \\
		2x_1 & -3x_2 & x_3 & -x_4 & x_5 & = & 0 \\
	\end{array} \right. \quad
	\begin{aligned}
		& \text{} \\
	\end{aligned}
\end{align*}
Което се свежда до следната матрица от коефициенти:
\begin{align*}
	& \left( \begin{array}{ccccc}
		1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
		3 & 1 & -2 & 1 & -1 \\
		2 & -3 & 1 & -1 & 1 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножаваме първи ред с -3 и го събираме с втори ред.} \\
		& \text{Умножаваме първи ред с -2 и го събираме с трети ред.} \\
		& \text{Разменяме втори ред с трети.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
		1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
		0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
		0 & 4 & -8 & -8 & -13 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножаваме втори ред с 4 и го събираме с трети ред.} \\
		& \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с първи ред.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
		1 & 0 & 5 & 10 & 11 \\
		0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
		0 & 0 & -20 & -36 & -41 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножаваме първи ред с 12, втори ред с -20} \\
		& \text{и трети ред с -3.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
		12 & 0 & 60 & 120 & 132 \\
		0 & 20 & 60 & 140 & 140 \\
		0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножаваме трети ред с -1 и го събираме с} \\
		& \text{първи и втори ред.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
		12 & 0 & 0 & 12 & 9 \\
		0 & 20 & 0 & 32 & 17 \\
		0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Делим първи ред с 12, втори ред с 20 и трети ред с 60.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
		1 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\
		\hfill \\[-8pt]
		0 & 1 & 0 & \frac{8}{5} &\frac{17}{20} \\
		\hfill \\[-8pt]
		0 & 0 & 1 & \frac{9}{5} & \frac{41}{20} \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Матрицата е в Гаус-Жорданов вид.} \\
		& \implies \colorbox{yellow}{$a_1, a_2, a_3$ са линейно независими вектори}
	\end{aligned}
\end{align*}
Избираме поизволен $a_4 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3 \right)$ и произволен $a_5 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3, a_4 \right)$:
\begin{align*}
	a_4 = \left( 0, 0, 0, 1, 0 \right) \;,\quad a_5 = \left( 0, 0, 0, 0, 1 \right)
\end{align*}
От Лемата за линейна независимост, следва че $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ са линейно независими.

\noindent
От $\dim \left( \mathbb{Q}^5 \right) = 5$, знаем че всеки базис на $\mathbb{Q} ^ 5$ е съставен от пет линейно независими вектора. \linebreak

$ \implies$ \colorbox{yellow}{$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ е базис на $\mathbb{Q} ^ 5$}

\end{document}