1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{hyperref} % Линкове
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 2 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{2 Въпрос}}
В пространството $F ^ 4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени векторите
\begin{align*}
& a_1 = (-1,2,1,1), \; a_2 = (3, -1,2,2), \; a_3 = (4,1,-1,2), \\
& a_4 = ( 1, -3,2,1), \; a_5 = ( 1,3,4,4), \; a_6 = ( -1,7,-4,0).
\end{align*}
Да се намери базис на $F ^ 4$, който се съдържа в множеството $\left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$.
\paragraph{Решение:}
Дадените вектори образуват следната матрица от коефициенти:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2 & 2 \\
4 & 1 & -1 & 2 \\
1 & -3 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 4 & 4 \\
-1 & 7 & -4 & 0 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Събираме първия ред с четвърти и пети,} \\
& \text{умножаваме първия с -1 и го събираме с шести ред,} \\
& \text{умножаваме първия с 3 и го събираме с втори ред,} \\
& \text{умножаваме първия с 4 и го събираме с трети ред.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 5 & 5 \\
0 & 9 & 3 & 6 \\
0 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 5 & 5 & 5 \\
0 & 5 & -5 & -1 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме петия ред с -1 и го събираме с втори и шести.} \\
& \text{Делим пети ред на 5 и трети ред на 3.} \\
& \text{Събираме резултатния пети ред с четвърти,} \\
& \text{умножаваме пети ред с -1 и го събираме с първия.}
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -10 & -6 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Делим шести ред на 2.} \\
& \text{Събираме резултатния шести ред с четвърти.} \\
& \text{Умножаваме пети ред с -3 и събираме с трети.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -5 & -3 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме четвърти ред с -2 и събираме с трети,} \\
& \text{събираме четвърти ред с пети,} \\
& \text{умножаваме четвърти с -5 и събираме с шести.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{cccc}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -3 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножаваме трети ред с -3 и събираме с шести.} \\
& \text{Събираме трети ред с пети.} \\
& \text{Умножаваме пети ред с -1 и събраме с първи.} \\
& \text{Умножаваме с -1 първи, трети и четвърти ред.} \\
\end{aligned} \\
\end{align*}
\begin{align*}
& \sim \left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{След размяна на втори с пети и трети с четвърти} \\
& \text{и след премахване на последните два нулеви реда,} \\
& \text{получаваме матрица в Гаус-Жорданов вид.} \\
& \implies a_1, a_3, a_4, a_5 \text{ са линейно независими вектори}
\end{aligned} \\
\end{align*}
$\dim \left( F^4 \right) = 4$ , следователно всеки базис на $F^4$ е съставен от четири линейно незаивисми вектора и от $a_1, a_3, a_4, a_5 \in \left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$, следва че \colorbox{yellow}{$\left( a_1, a_3, a_4, a_5 \right)$ е базис на $F^4$}
\end{document}
|
