% Document MUST be built with XeLaTeX! \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} % Поддръжка на български език % Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 \usepackage{fontspec} \defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} \setmainfont{CMU Serif} \setsansfont{CMU Sans Serif} \usepackage[bulgarian,english]{babel} \usepackage{amsmath} % Математически символи \usepackage{amsfonts} % Още математически символи \usepackage{hyperref} % Линкове \usepackage{cancel} % Зачертаване \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 2 Въпрос.} \author{Камен Димитров Младенов, Група 6} \date{12 Ноември 2021} \begin{document} \maketitle \noindent \colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: [няма]}} \paragraph{\colorbox{yellow}{2 Въпрос}} В пространството $F ^ 4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени векторите \begin{align*} & a_1 = (-1,2,1,1), \; a_2 = (3, -1,2,2), \; a_3 = (4,1,-1,2), \\ & a_4 = ( 1, -3,2,1), \; a_5 = ( 1,3,4,4), \; a_6 = ( -1,7,-4,0). \end{align*} Да се намери базис на $F ^ 4$, който се съдържа в множеството $\left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$. \paragraph{Решение:} Дадените вектори образуват следната матрица от коефициенти: \begin{align*} & \left( \begin{array}{cccc} -1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 4 \\ -1 & 7 & -4 & 0 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Събираме първия ред с четвърти и пети,} \\ & \text{умножаваме първия с -1 и го събираме с шести ред,} \\ & \text{умножаваме първия с 3 и го събираме с втори ред,} \\ & \text{умножаваме първия с 4 и го събираме с трети ред.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc} -1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 5 & 5 \\ 0 & 9 & 3 & 6 \\ 0 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 5 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & -1 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме петия ред с -1 и го събираме с втори и шести.} \\ & \text{Делим пети ред на 5 и трети ред на 3.} \\ & \text{Събираме резултатния пети ред с четвърти,} \\ & \text{умножаваме пети ред с -1 и го събираме с първия.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -10 & -6 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Делим шести ред на 2.} \\ & \text{Събираме резултатния шести ред с четвърти.} \\ & \text{Умножаваме пети ред с -3 и събираме с трети.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -3 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме четвърти ред с -2 и събираме с трети,} \\ & \text{събираме четвърти ред с пети,} \\ & \text{умножаваме четвърти с -5 и събираме с шести.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{Умножаваме трети ред с -3 и събираме с шести.} \\ & \text{Събираме трети ред с пети.} \\ & \text{Умножаваме пети ред с -1 и събраме с първи.} \\ & \text{Умножаваме с -1 първи, трети и четвърти ред.} \\ \end{aligned} \\ \end{align*} \begin{align*} & \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \quad \begin{aligned} & \text{След размяна на втори с пети и трети с четвърти} \\ & \text{и след премахване на последните два нулеви реда,} \\ & \text{получаваме матрица в Гаус-Жорданов вид.} \\ & \implies a_1, a_3, a_4, a_5 \text{ са линейно независими вектори} \end{aligned} \\ \end{align*} $\dim \left( F^4 \right) = 4$ , следователно всеки базис на $F^4$ е съставен от четири линейно незаивисми вектора и от $a_1, a_3, a_4, a_5 \in \left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$, следва че \colorbox{yellow}{$\left( a_1, a_3, a_4, a_5 \right)$ е базис на $F^4$} \end{document}