blob: 81c4a726358c8e58c317555fb377cd92589d2b7b (
plain) (
blame)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
|
% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}
\usepackage[bulgarian,english]{babel}
\usepackage{amsmath} % Математически символи
\usepackage{amsfonts} % Още математически символи
\usepackage{hyperref} % Линкове
\usepackage{cancel} % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 1 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}
\begin{document}
\maketitle
\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: Благодаря за ясното решение и хубавото оформление.}}
\paragraph{\colorbox{yellow}{1 Въпрос}}
Да се реши системата линейни уравнения в зависимост от стойностите на параметрите $p,q \in \mathbb{C}$.
\begin{align*}
\left| \begin{array}{ccccccc}
2 x_1 & + x_2 & + x_3 & - x_4 & + 2 x_5 & = & -5 \\
x_1 & - 5 x_2 & + x_3 & + 2 x_4 & + p x_5 & = & q \\
- 3 x_1 & & + 2 x_3 & - x_4 & + 2 x_5 & = & -7
\end{array} \right.
\end{align*}
\paragraph{Решение:}
Правим разширена матрица на системата линейни уравнения:
\begin{align*}
& \left( \begin{array}{ccccc|c}
2 & 1 & 1 & -1 & 2 & -5 \\
1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
-3 & 0 & 2 & -1 & 2 & -7 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Събираме първия и втория ред с третия.} \\
& \text{Делим третия ред на 4.} \\
& \text{Събираме третия ред с първия.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножваме втория ред с 2. Умножаваме първия} \\
& \text{ред с -1 и го събираме с втория.} \\
& \text{Умножаваме третия с -10 и го събираме с втория.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Умножваме първи ред с 5.} \\
& \text{Умножваме трети ред с 10.} \\
& \text{Разменяме втори и трети ред.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
10 & 0 & 10 & -5 & \frac{5p}{4} + 15 & \frac{5q}{4}-40 \\
0 & -10 & 10 & 0 & \frac{5p}{2} + 10 & \frac{5q}{2}-30 \\
0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
\end{array} \right) \quad
\begin{aligned}
& \text{Събираме трети ред с първи и втори.} \\
& \text{Делим първи ред на 10.} \\
& \text{Делим втори и трети ред на -10.} \\
\end{aligned} \\
& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{p}{20} + \frac{1}{5} & \frac{q}{20}-\frac{1}{5} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} & -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} & \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} \\
\end{array} \right)
\end{align*}
За произволни $x_4$ и $x_5$, извеждаме че:
\begin{align*}
\colorbox{yellow}{$x_1$} & = \frac{q}{20}-\frac{1}{5} - \left( \frac{p}{20} + \frac{1}{5} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{q - 4 - (p + 4) x_5}{20}$} \\
\colorbox{yellow}{$x_2$} & = -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{-7q - 32 + 20 \, x_4 + \left( 7p - 12 \right) x_5}{40}$} \\
\colorbox{yellow}{$x_3$} & = \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{3q - 152 + 20 \, x_4 - \left( 3p + 52 \right) x_5}{40}$}
\end{align*}
\end{document}
|
