% Document MUST be built with XeLaTeX!
\documentclass[11pt,a4paper]{article}

\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}

% Поддръжка на български език
% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
\usepackage{fontspec}
\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
\setmainfont{CMU Serif}
\setsansfont{CMU Sans Serif}

\usepackage[bulgarian,english]{babel}

\usepackage{amsmath}            % Математически символи
\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
\usepackage{hyperref}           % Линкове
\usepackage{cancel}             % Зачертаване
\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове

\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 1 Въпрос.}
\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
\date{12 Ноември 2021}

\begin{document}

\maketitle

\noindent
\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{1,00/1,00 Точки \qquad Коментар: Благодаря за ясното решение и хубавото оформление.}}

\paragraph{\colorbox{yellow}{1 Въпрос}}

Да се реши системата линейни уравнения в зависимост от стойностите на параметрите $p,q \in \mathbb{C}$.
\begin{align*}
	\left| \begin{array}{ccccccc}
		2 x_1   & + x_2   & + x_3   & - x_4   & + 2 x_5 & = & -5 \\
		  x_1   & - 5 x_2 & + x_3   & + 2 x_4 & + p x_5 & = & q \\
		- 3 x_1 &         & + 2 x_3 & - x_4   & + 2 x_5 & = & -7
	\end{array} \right.
\end{align*}

\paragraph{Решение:}

Правим разширена матрица на системата линейни уравнения:
\begin{align*}
	& \left( \begin{array}{ccccc|c}
		2 & 1 & 1 & -1 & 2 & -5 \\
		1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
		-3 & 0 & 2 & -1 & 2 & -7 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Събираме първия и втория ред с третия.} \\
		& \text{Делим третия ред на 4.} \\
		& \text{Събираме третия ред с първия.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
		2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
		1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
		0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножваме втория ред с 2. Умножаваме първия} \\
		& \text{ред с -1 и го събираме с втория.} \\
		& \text{Умножаваме третия с -10 и го събираме с втория.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
		2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
		0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
		0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Умножваме първи ред с 5.} \\
		& \text{Умножваме трети ред с 10.} \\
		& \text{Разменяме втори и трети ред.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
		10 & 0 & 10 & -5 & \frac{5p}{4} + 15 & \frac{5q}{4}-40 \\
		0 & -10 & 10 & 0 & \frac{5p}{2} + 10 & \frac{5q}{2}-30 \\
		0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
	\end{array} \right) \quad
	\begin{aligned}
		& \text{Събираме трети ред с първи и втори.} \\
		& \text{Делим първи ред на 10.} \\
		& \text{Делим втори и трети ред на -10.} \\
	\end{aligned} \\
	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
		1 & 0 & 0 & 0 & \frac{p}{20} + \frac{1}{5} & \frac{q}{20}-\frac{1}{5} \\
		0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} & -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} \\
		0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} & \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} \\
	\end{array} \right)
\end{align*}
За произволни $x_4$ и $x_5$, извеждаме че:
\begin{align*}
	\colorbox{yellow}{$x_1$} & = \frac{q}{20}-\frac{1}{5} - \left( \frac{p}{20} + \frac{1}{5} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{q - 4 - (p + 4) x_5}{20}$} \\
	\colorbox{yellow}{$x_2$} & = -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{-7q - 32 + 20 \, x_4 + \left( 7p - 12 \right) x_5}{40}$} \\
	\colorbox{yellow}{$x_3$} & = \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{3q - 152 + 20 \, x_4 - \left( 3p + 52 \right) x_5}{40}$}
\end{align*}

\end{document}