[A2/H2] Solved homework

1 files changed, 102 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..b3bdf14
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,102 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+\usepackage{marvosym}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 4},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 4 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{(i)}
+
+По дефиниция $I = \langle 2 - \sqrt{-5} \rangle = \left\{ (2 - \sqrt{-5})z \;\vert\; z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \right\}$.
+
+Нека $J = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \}$.
+
+Ще докажем, че $I \subseteq J$. За произволно $i' = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \in I$, ще покажем че съществува $j = a + \sqrt{5}bi \in J$, такова че $j = i'$.
+\begin{align*}
+	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
+	& a \equiv -2b \; (\mod 9) \iff 2c + 5d \equiv -4d + 2c \; (\mod 9) \implies i' \in I \implies I \subseteq J
+\end{align*}
+
+Ще докажем, че $J \subseteq I$. За произволно $j = a + \sqrt{5}bi\in J$, ще покажем че съществува  $z = c + \sqrt{5}di \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че $j = (2 - \sqrt{5}i)z$.
+\begin{align*}
+	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \quad a + \sqrt{5}bi = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
+	& \implies \left| \begin{array}{l}
+		a = 2c + 5d \\
+		b = 2d - c
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		a = 2(2d - b) + 5d \\
+		c = 2d - b
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		9d = a + 2b \\
+		9c = 2(a + 2b) - 9b
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		9d = a - 2b \\
+		9c = 2a - 5b
+	\end{array} \right. \\
+	& d = \frac{a - 2b}{9}, c = \frac{2a - 5b}{9} \in \mathbb{Z} \implies j \in I \implies J \subseteq I
+\end{align*}
+
+Следователно $I = J$
+
+\section{(ii)}
+
+Ще докажем че изображението $\psi$ е хомоморфизъм на пръстени, като
+\begin{align*}
+	& \psi : \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \rightarrow \mathbb{Z}_9, \quad \psi (a + \sqrt{5}bi) = a + 2b \; (\mod 9) \quad \forall (a + \sqrt{5}bi) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
+	& \psi ((a + \sqrt{5}bi) + (c + \sqrt{5}di)) = \psi ((a + c) + (b+d)\sqrt{5}i) = a + c + 2(b + d) \; (\mod 9) \\
+	& = (a + 2b)(\mod 9) + (c + 2d)(\mod 9) = \psi(a + \sqrt{5}bi) + \psi(c + \sqrt{5}di) \\
+	& \psi ((a + \sqrt{5}bi)(c + \sqrt{5}di)) = \psi((ac - 5bd) + (ad + bc)\sqrt{5}i) = (ac - 5bd) + 2(ad + bc)\sqrt{5}i \; (\mod 9) \\
+	& = (a + \sqrt{5}bi) \; (\mod 9) . (c + \sqrt{5}di) \; (\mod 9) = \psi (a + \sqrt{5}bi)\psi(c + \sqrt{5}di) \\
+	& \text{за произволни } (a + \sqrt{5}bi), (c + \sqrt{5}di) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
+	& \ker(\psi) = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a + 2b \equiv 0 \; (\mod 9) \} = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \} = I \\
+	& \text{Следователно, от теоремата за хомоморфизми на пръстени } \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / I = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / \ker(\psi) \simeq im (\psi) = \mathbb{Z}_9
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file