[A2/H2] Solved homework

8 files changed, 338 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ea82e57
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..c997e7c
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 1},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 1 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Решение}
+
+Търсим $n$, за което $\exists ! a,b \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}: ab \equiv 0 \; (\mod n)$, тоест $a$ и $b$ са (единствените) такива, че $ab = 0 + kn = kn$ за някое $k \in \mathbb{Z}$.
+Допълнително премахваме $1$, понеже ако б.о.о. $a = 1$, то $ab = 1b = b \neq kn$ за всяко $k$ и $n$.
+
+Ако $n$ е просто, няма делители на нулата, понеже ако представим двете страни на $ab=kn$ като умножения на прости числа, няма как лявата страна да съдържа $n$ (и няма как да има равенство).
+
+Нека фиксираме най-малките прости числа $c,d \in \{2, ..., n-1\}$, които удовлетворяват $n = c.d$.
+Тогава със сигурност ще имаме поне един делител на нулата, при $a=c$ и $b=d$, $ab = cd = n$.
+
+За всяко $1 < k < n$, за което можем да представим б.о.о. $a$ като $c.k \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}$, $ab$ ще бъде "нов" различен делител на нулата: $ab = c.k.d = k.cd = kn \neq n$.
+
+Тоест, искаме за всяко такова $k$ и всяко $z \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0, 1\}$, $k.z \notin \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}$.
+Най-малките им възможни стойности са $k = 2 = z$, тоест искаме $kz = 4 \notin \mathbb{Z}_n$, значи $n \in \{1, ..., 4\}$.
+За $n = 1$ и $n = 2$, $\mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\} = \emptyset$, за $n = 3$, няма делител на нулата.
+
+Следователно, отговорът е $n = 4$.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6b4f57e
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..d96d5d2
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+
+\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 2},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{(i) $\Rightarrow$ (ii)}
+
+От Твърдение 8.11 на лекции, знаем че всеки обратим елемент относно умножението не е делител на нулата.
+Тоест, ако $A$ е делител, то той не е обратим и $A \notin M_{n \times n}(\mathbb{Q})^*$.
+
+\section{(ii) $\Rightarrow$ (iii)}
+
+\section{(iii) $\Rightarrow$ (i)}
+
+Щом съществува матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$ с равни стълбове, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$, то съществува някаква матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$.
+Следователно, от дефиницията, $A$ дели нулата.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cd2920e
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9cbad9
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise3.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+\usepackage{marvosym}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 3},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 3 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{(i)}
+
+\begin{align*}
+	& \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a+\sqrt{5}b \, i \mid a,b \in \mathbb{Z} \} \subset \mathbb{C} \qquad \text{За произволни } A = (a+\sqrt{5}b \, i), B = (c+\sqrt{5}d \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
+	& A \pm B = (a+\sqrt{5}b \, i) \pm (c+\sqrt{5}d \, i) = (a \pm c) + \sqrt{5}(b \pm d) \, i \in \mathbb{C} \\
+	& A . B = (a+\sqrt{5}b \, i)(c+\sqrt{5}d \, i) = ac + a\sqrt{5}d \, i + c\sqrt{5}b \, i + \sqrt{5}b \, i . \sqrt{5}d \, i = (ac - 5bd) + \sqrt{5}(ad + cb) \, i \in \mathbb{C} \\
+	& \implies \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \leq \mathbb{C}
+\end{align*}
+
+\section{(ii)}
+
+\begin{align*}
+	& \text{Избираме произволно } \alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \quad |\alpha|^2 = \left|\sqrt{a^2 + \left(\sqrt{5}b\right)^2}\right|^2 = \sqrt{a^2 + 5b^2}^2 = a^2 + 5b^2 \\
+	& a, b \in \mathbb{Z} \implies a^2, b^2 \in \mathbb{Z}^{\geq 0} \implies a^2 + 5b^2 \in \mathbb{Z}^{\geq 0}
+\end{align*}
+
+\section{(iii)}
+
+$(\Rightarrow)$ Нека фиксираме произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^*$. Тогава съществува $\alpha' = (a'+\sqrt{5}b' \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че:
+\begin{align*}
+	& 1 + 0 \, i = 1 = \alpha \alpha' = (a+\sqrt{5}b \, i)(a'+\sqrt{5}b' \, i) = (aa' - 5bb') + \sqrt{5}(ab' + ba') \, i \\
+	& \left| \begin{array}{ll}
+		aa' - 5bb' & = 1 \\
+		\sqrt{5}(ab' + ba') & = 0
+	\end{array} \right. \quad
+	\left| \begin{array}{lll}
+		aa' - 5\left(\frac{-ba'}{a}\right) & = & 1 \\
+		b' & = & \frac{-ba'}{a}
+	\end{array} \right. \text{ Б.О.О. } a \neq 0 \\
+	& \Rightarrow aa' + 5b^2 \frac{a'}{a} = 1 \quad a' = \frac{1}{a + \frac{5b^2}{a}} \quad a' = \frac{a}{a^2 + 5b^2} \Rightarrow b' = \frac{-ba}{a(a^2 + 5b^2)} = -\frac{b}{a^2 + 5b^2} \\
+	& \text{Искаме: } a', b' \in \mathbb{Z}, \text{ тоест } (a^2 + 5b^2) \vert |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \vert |b|, \text{ но } (a^2 + 5b^2) \neq 0 \text{ по теорема за делимост} \\
+	& \text{Нека да разглеждаме случая } b \neq 0, \text{ тогава } (a^2 + 5b^2) \leq |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \leq |b| \text{ обаче в същото време } \\
+	& (a^2 + 5b^2) \geq |a| \text{ и } (a^2 + 5b^2) \geq |b| \implies |b| = (a^2 + 5b^2) = |a|, \text{ обаче } |a| = |b| \Rightarrow a^2 + 5a^2 = |a| \Rightarrow a = 0 \text{ \Lightning} \\
+	& \text{Тоест, } b = 0 \text{ и запазваме } a^2 + 5b^2 = |a| \iff a^2 = |a| \iff |a| = 1 \implies |\alpha|^2 = 1
+\end{align*}
+
+$(\Leftarrow)$ Нека фиксираме произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, за което $|\alpha|^2 = 1$.
+\begin{align*}
+	& |\alpha|^2 = 1 \quad |\alpha| = \sqrt{1} = 1 \quad |a + \sqrt{5}bi| = 1 \quad |a| + \sqrt{5}|b|i = 1 + 0i \implies |a| = 1, a = \pm 1 \text{ и } b = 0 \\
+\end{align*}
+
+\textbf{1 сл.)} $\alpha = 1$, тогава за $\alpha' = 1 \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, имаме че $\alpha \alpha' = 1.1 = 1 = 1.1 = \alpha' \alpha$, следователно $\alpha$ е обратим.
+
+\textbf{2 сл.)} $\alpha = -1$, тогава за $\alpha' = -1 \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, имаме че $\alpha \alpha' = -1.-1 = 1 = -1.-1 = \alpha' \alpha$, следователно $\alpha$ е обратим.
+
+\section{(iv)}
+
+В (iii) показахме, че за произволно $\alpha = (a+\sqrt{5}b \, i) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^*$, $b = 0 \Rightarrow \alpha = a$, $|a| = 1 \implies a = \pm 1$ и $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]^* = \{ \pm 1 \}$
+	
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..aeb2f10
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf
diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..b3bdf14
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,102 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+\usepackage{marvosym}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
+\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 4},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 4 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{(i)}
+
+По дефиниция $I = \langle 2 - \sqrt{-5} \rangle = \left\{ (2 - \sqrt{-5})z \;\vert\; z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \right\}$.
+
+Нека $J = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \}$.
+
+Ще докажем, че $I \subseteq J$. За произволно $i' = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \in I$, ще покажем че съществува $j = a + \sqrt{5}bi \in J$, такова че $j = i'$.
+\begin{align*}
+	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
+	& a \equiv -2b \; (\mod 9) \iff 2c + 5d \equiv -4d + 2c \; (\mod 9) \implies i' \in I \implies I \subseteq J
+\end{align*}
+
+Ще докажем, че $J \subseteq I$. За произволно $j = a + \sqrt{5}bi\in J$, ще покажем че съществува  $z = c + \sqrt{5}di \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, такова че $j = (2 - \sqrt{5}i)z$.
+\begin{align*}
+	& a + \sqrt{5}bi = (2 - \sqrt{5}i)(c + \sqrt{5}di) \quad a + \sqrt{5}bi = (2c + 5d) + (2d - c)\sqrt{5}i \\
+	& \implies \left| \begin{array}{l}
+		a = 2c + 5d \\
+		b = 2d - c
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		a = 2(2d - b) + 5d \\
+		c = 2d - b
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		9d = a + 2b \\
+		9c = 2(a + 2b) - 9b
+	\end{array} \right. \quad \left| \begin{array}{l}
+		9d = a - 2b \\
+		9c = 2a - 5b
+	\end{array} \right. \\
+	& d = \frac{a - 2b}{9}, c = \frac{2a - 5b}{9} \in \mathbb{Z} \implies j \in I \implies J \subseteq I
+\end{align*}
+
+Следователно $I = J$
+
+\section{(ii)}
+
+Ще докажем че изображението $\psi$ е хомоморфизъм на пръстени, като
+\begin{align*}
+	& \psi : \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \rightarrow \mathbb{Z}_9, \quad \psi (a + \sqrt{5}bi) = a + 2b \; (\mod 9) \quad \forall (a + \sqrt{5}bi) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
+	& \psi ((a + \sqrt{5}bi) + (c + \sqrt{5}di)) = \psi ((a + c) + (b+d)\sqrt{5}i) = a + c + 2(b + d) \; (\mod 9) \\
+	& = (a + 2b)(\mod 9) + (c + 2d)(\mod 9) = \psi(a + \sqrt{5}bi) + \psi(c + \sqrt{5}di) \\
+	& \psi ((a + \sqrt{5}bi)(c + \sqrt{5}di)) = \psi((ac - 5bd) + (ad + bc)\sqrt{5}i) = (ac - 5bd) + 2(ad + bc)\sqrt{5}i \; (\mod 9) \\
+	& = (a + \sqrt{5}bi) \; (\mod 9) . (c + \sqrt{5}di) \; (\mod 9) = \psi (a + \sqrt{5}bi)\psi(c + \sqrt{5}di) \\
+	& \text{за произволни } (a + \sqrt{5}bi), (c + \sqrt{5}di) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \\
+	& \ker(\psi) = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a + 2b \equiv 0 \; (\mod 9) \} = \{ a + b\sqrt{-5} \;\vert\; a \equiv -2b \; (\mod 9) \} = I \\
+	& \text{Следователно, от теоремата за хомоморфизми на пръстени } \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / I = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] / \ker(\psi) \simeq im (\psi) = \mathbb{Z}_9
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file