[A2/H2] Solved homework

1 files changed, 65 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..d96d5d2
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,65 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{Решение}
+
+\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\setlist[enumerate]{label=\Roman*.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 2},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 2 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{(i) $\Rightarrow$ (ii)}
+
+От Твърдение 8.11 на лекции, знаем че всеки обратим елемент относно умножението не е делител на нулата.
+Тоест, ако $A$ е делител, то той не е обратим и $A \notin M_{n \times n}(\mathbb{Q})^*$.
+
+\section{(ii) $\Rightarrow$ (iii)}
+
+\section{(iii) $\Rightarrow$ (i)}
+
+Щом съществува матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$ с равни стълбове, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$, то съществува някаква матрица $B \in M_{n \times n}(\mathbb{Q}) \setminus \{\mathbb{O}_{n \times n}\}$, за която $AB = \mathbb{O}_{n \times n}$.
+Следователно, от дефиницията, $A$ дели нулата.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file