[A2/H2] Solved homework

1 files changed, 67 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..c997e7c
--- /dev/null
+++ b/Year 2/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\usepackage{indentfirst}        % Индентация на параграф след секция
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\renewcommand{\thesection}{}
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Летен семестър, 2023},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по А2, Зад 1},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашно №2, Задача 1 по Алгебра 2 на Компютърни Науки}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{12 Май 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Решение}
+
+Търсим $n$, за което $\exists ! a,b \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}: ab \equiv 0 \; (\mod n)$, тоест $a$ и $b$ са (единствените) такива, че $ab = 0 + kn = kn$ за някое $k \in \mathbb{Z}$.
+Допълнително премахваме $1$, понеже ако б.о.о. $a = 1$, то $ab = 1b = b \neq kn$ за всяко $k$ и $n$.
+
+Ако $n$ е просто, няма делители на нулата, понеже ако представим двете страни на $ab=kn$ като умножения на прости числа, няма как лявата страна да съдържа $n$ (и няма как да има равенство).
+
+Нека фиксираме най-малките прости числа $c,d \in \{2, ..., n-1\}$, които удовлетворяват $n = c.d$.
+Тогава със сигурност ще имаме поне един делител на нулата, при $a=c$ и $b=d$, $ab = cd = n$.
+
+За всяко $1 < k < n$, за което можем да представим б.о.о. $a$ като $c.k \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}$, $ab$ ще бъде "нов" различен делител на нулата: $ab = c.k.d = k.cd = kn \neq n$.
+
+Тоест, искаме за всяко такова $k$ и всяко $z \in \mathbb{Z}_n \setminus \{0, 1\}$, $k.z \notin \mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\}$.
+Най-малките им възможни стойности са $k = 2 = z$, тоест искаме $kz = 4 \notin \mathbb{Z}_n$, значи $n \in \{1, ..., 4\}$.
+За $n = 1$ и $n = 2$, $\mathbb{Z}_n \setminus \{0,1\} = \emptyset$, за $n = 3$, няма делител на нулата.
+
+Следователно, отговорът е $n = 4$.
+
+\end{document}
\ No newline at end of file