diff options
Renamed mathematical analysis to calculus
1 files changed, 483 insertions, 0 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Calculus/notes.tex | 483 |
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex new file mode 100644 index 0000000..3f4c49a --- /dev/null +++ b/Year 1/Calculus/notes.tex @@ -0,0 +1,483 @@ +% Document MUST be built with XeLaTeX! +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} + +% Поддръжка на български език +% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 +\usepackage{fontspec} +\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} +\setmainfont{CMU Serif} +\setsansfont{CMU Sans Serif} + +\usepackage[bulgarian,english]{babel} + +\usepackage{amsmath} % Математически символи +\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} \DeclareMathOperator{\arccotg}{arccotg} +\usepackage{amsfonts} % Още математически символи +\usepackage{cancel} % Зачертаване +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове +\usepackage{indentfirst} % Индентация на параграф след секция + +\usepackage{enumitem} +\setlist[enumerate]{label=\arabic*.} + +\renewcommand{\thesection}{Лекция \arabic{section}} +\renewcommand{\thesubsection}{\quad\arabic{section}.\arabic{subsection}} + +\setlength\delimitershortfall{-2pt} % Прави вложените скоби да са по-малки + +\usepackage[pdfauthor={Kamen Mladenov: syndamia.com, gitlab.com/Syndamia}, + pdftitle={Mathematical Analysis, Computer Science 2021, Winter Semester}, + pdfsubject={Бележки по Математически анализ (Диференциално и интегрално смятане)}, + pdfkeywords={}, + colorlinks=true, + urlcolor=blue]{hyperref} + +\begin{document} + +Не са написани някои неща, които вече фигурират във \href{https://gitlab.com/Syndamia/uni-projects/-/blob/main/Year\%201/Discrete\%20math/notes.pdf}{файла по Дискретни структури} в \newline +\textbf{Лекция 2}, \textbf{Лекция 3}, \textbf{Лекция 4} и \textbf{Лекция 6}. + +\section{\underline{Реални числа - първа част}} + +\subsection{Множества} + +\noindent +\begin{align*} + & \text{Множество на естествените числа} & \mathbb{N} & = \left\{1, 2, 3, 4, ... \right\} \\ + & \text{Множество на целите числа} & \mathbb{Z} & = \left\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \right\} \\ + & \text{Множество на рационалните числа} & \mathbb{Q} & = \left\{ \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\} \\ + & \text{Множество на реалните числа} & \mathbb{R} & = \left\{ s \, a_0 . a_1 a_2 \cdots : s \in \{ +, - \}, a_0 \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} , a_n \in \{ 1, 2, ..., 9 \}, n \in \mathbb{N} \right\} +\end{align*} + +\noindent +Нека $a = a_0 . a_1 a_2 \cdots$, $b = b_0 . b_1 b_2 \cdots$ и $a, b \in \mathbb{R}$. + +\begin{itemize} + \item \emph{Равенство:} \newline $a = b$, ако имат еднакви знаци и + \begin{itemize} + \item \emph{или} $a_i = b_i$ за всички $i \in \{0, 1, 2, ... \}$, + \item \emph{или} съществува $n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$, такова че $a_i = b_i$ за всички $i \in \{ 0, 1, 2, ..., n-1 \}, a_n = b_n + 1$ и $a_j = 0, b_j = 9$ за всички $j \in \{ n+1, n+2, ... \}$ \newline + Tоест $a_0 . a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n 00 \cdots = a_0 . a_1 a_2 \cdots a_{n-1} (a_n - 1) 99 \cdots$ ($1.33 \cdots 3300 \cdots = 1.33 \cdots 3299 \cdots$) + \end{itemize} + + \item \emph{Сравняване:} + \begin{enumerate} + \item $a \geq 0, b \geq 0$ \newline + $a \leq b \iff + \begin{cases} + a_i = b_i, & \forall i \in {0, 1, 2, ...} \\ + \text{или} \\ + \exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, & a_i = b_i \; \forall i \in \{ 0, 1, ..., n-1 \} \text{ и } a_n < b_n + \end{cases}$ + + \item $a \leq 0, b \geq 0$ \qquad $a \leq b$ + + \item $a \leq 0, b \leq 0$ \qquad $a \leq b \iff |a| \geq |b|$ + \end{enumerate} +\end{itemize} + +\subsection{Граници и ограниченост} + +Нека $A \subset \mathbb{R}$ + +\begin{itemize} + \item \emph{Множество, ограничено отгоре} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \; \forall a \in A : a \leq M$ \quad $M$ - \emph{горна граница (мажоранта)} + + Най-малката горна граница наричаме \emph{точна горна граница или супремум на $A$ $(\sup A)$} + \begin{enumerate} + \item $a \leq \sup A \; \forall a \in A$ \qquad ($\sup A$ е горна граница) + \item $\forall c < \sup A \; \exists a \in A : a > c$ \qquad (няма по-малка горна граница) + \end{enumerate} + + \item \emph{Множество, ограничено отдолу} \qquad $\exists M \in \mathbb{R} \; \forall a \in A : a \geq M$ \quad $M$ - \emph{долна граница (миноранта)} + + Най-малката долна граница наричаме \emph{точна долна граница или инфимум на $A$ $(\inf A)$} + + \item \emph{Ограничено множество} \qquad Ако е ограничено отдолу и отгоре +\end{itemize} + +\noindent +\begin{align*} + \emph{Принцип на непрекъснатост: } & \text{Всяко ограничено отгоре непразно множество $A \subset \mathbb{R}$ има супремум.} \\ + & \text{Всяко ограничено отдолу непразно множество $A \subset \mathbb{R}$ има инфимум.} +\end{align*} + +\noindent +\emph{Цялата част на $x \in \mathbb{R}$}: най-голямото цяло число $z$, ненадминаващо $x$. \hfill $\lfloor x \rfloor = \max \{ z \in \mathbb{Z} : z \leq x \}$ + +\section{\underline{Реални числа - втора част и сходящи редици}} + +\subsection{Непрекъснати наредени полета} + +Нека $R$ е поле с дефинирани събиране, умножение е релацията $\preceq$: +\begin{align*} + \oplus : R \rightarrow R, \quad \otimes : R \rightarrow R, \quad \preceq \subset R \times R +\end{align*} + +$(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ се нарича непрекъснато наредено поле, ако са в сила: + +\begin{enumerate}[label=\Roman*.] + \item Аксиоми за събирането + \begin{enumerate} + \item \emph{Асоциативност} \hfill $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c) \quad \forall a, b, c \in R$ + \item \emph{Комутативност} \hfill $a \oplus b = b \oplus a \quad \forall a \in R \; \forall b \in R$ + \item \emph{Неутрален елемент} \hfill $\exists 0 \in R \; \forall a \in R : a \oplus 0 = 0 \oplus a = a$ + \item \emph{Противоположен елемент} \hfill $\forall a \in R \; \exists (-a) \in R : a \oplus (-a) = (-a) \oplus a = 0$ + \end{enumerate} + + \item Аксиоми за умножението + \begin{enumerate} + \item \emph{Асоциативност} \hfill $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c) \quad \forall a, b, c \in R$ + \item \emph{Комутативност} \hfill $a \otimes b = b \otimes a \quad \forall a \in R \; \forall b \in R$ + \item \emph{Неутрален елемент} \hfill $\exists e \in R \; \forall a \in R : a \otimes e = e \otimes a = a$ + \item \emph{Обратен елемент} \hfill $\forall a \in R, a \neq 0 \; \exists a^{-1} \in R : a \otimes a^{-1} = a^{-1} \otimes a = e$ + \item \emph{Дистрибутивност} \hfill $(a \oplus b) \otimes c = (a \otimes c) \oplus (b \otimes c) \quad \forall a, b, c \in R$ + \end{enumerate} + + \item Аксиоми, свързани с наредбата + \begin{enumerate} + \item $\forall a, b \in R : \quad a \preceq b$ или $b \preceq a$ + \item \emph{Рефлексивност} \hfill $a \preceq a \quad \forall a \in R$ + \item \emph{Антисиметричност} \hfill $a \preceq a$ и $b \preceq a \implies a = b \quad \forall a, b \in R$ + \item \emph{Транзитивност} \hfill $a \preceq b$ и $b \preceq c \implies a \preceq c \quad \forall a, b, c, \in R$ + \item \emph{Връзка със събирането} \hfill $a \preceq b \implies a \oplus c \preceq b \oplus c \quad \forall a, b, c \in R$ + \item \emph{Връзка с умножението} \hfill $a \preceq b \implies a \otimes c \preceq b \otimes c \quad \forall a, b, c \in R$ + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\emph{Аксиома на Архимед: } Ако $(R, \oplus, \otimes, \preceq)$ е непрекъснато наредено поле с неутрален елемент $e$ относно умножението, то $\{ e, e+e, e+e+e, ... \}$ не е ограничено отгоре. + +\subsection{Изброими множества и редици} + +\emph{Кофинитно множество: } Едно множество $A \subset \mathbb{N}$ от естествени числа се нарича кофинитно, ако $\mathbb{N} \setminus A$ е крайно или празно. \hfill (тоест, започва от някое число в $\mathbb{N}$ и продължава до безкрайност) \newline + +\emph{Околност на точка: } Нека $a \in \mathbb{R}$ и $U \subset R$. $U$ е околност на точката $a$, ако съществува $\varepsilon > 0$ такова, че $(a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U$ + +\- \quad Ако разглеждаме $(a - \varepsilon, a + \varepsilon) \setminus \{ a \}$, говорим за \emph{пробита околност} \newline + +\emph{Граница на редица: } Редицата $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ има граница $a \in \mathbb{R}$, ако за всяка околност на $a$, $\{ n \in \mathbb{N} : a_n \in U \}$ е кофинитно. \hfill (тоест, ако всяка околност на $a$ съдържа почти всички членове) \newline + +\emph{Сходяща редица: } Ако за $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ съществува $a \in \mathbb{R}$, такова че $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ или $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$ + +\emph{Разходяща редица: } Ако не е сходяща + +\section{\underline{Редици от реални числа}} + +\subsection{Основни свойства на сходящи редици} + +Ако не е определено друго: $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a, \quad b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} b$ +\begin{enumerate} + \item Добавянето и премахването на краен брой членове не влияе на сходимостта (и границата) + + \item Сходящите редици са ограничени + + \item Ако $a_n \leq b_n \; \forall n \in \mathbb{N}, \quad$ то $\quad a \leq b$ + + \item \emph{Лема за двамата полицаи: } Нека $a_n \leq c_n \leq b_n \; \forall n \in \mathbb{N}$. \newline + Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a, \quad b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a , \quad$ то $\quad c_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a\quad$ (и $\{ c_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща) \newline + + \emph{Следствие: } Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$ и $\{ b_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е ограничена, то $a_n . b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$ + + \item $a_n \pm b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a \pm b \qquad a_n . b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} ab$ \newline + + \emph{Следствие: } Ако $c \in \mathbb{R}$, то $c . a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} ca$ + + \emph{Следствие: } $a_n - b_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a - b$ + + \item Ако $b \neq 0$, то $\frac{a_n}{b_n} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac{a}{b}$ +\end{enumerate} + +\subsection{Дивергиране към безкрайност} + +\emph{Околност на $+\infty$: } Ако съществува $M \in \mathbb{R}$ такова, че $(M, +\infty) \subset U$, то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $+\infty$ + +\emph{Околност на $-\infty$: } Ако съществува $M \in \mathbb{R}$ такова, че $(-\infty, M) \subset U$, то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $-\infty$ + +\emph{Околност на $\infty$: } Ако съществува $M > 0$ такова, че $[(-\infty, -M) \cup (M, +\infty)] \subset U$, \newline \- \hfill то $U \subset \mathbb{R}$ e околност на $\infty$ + +\subsection{Монотонни редици} + +\emph{Растяща редица: } Ако $a_{n+1} \geq a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$, то $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ е растяща + +\emph{Намаляваща редица: } Ако $a_{n+1} \leq a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$, то $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset \mathbb{R}$ е намаляваща + +\emph{Монотонна редица: } Ако редицата е растяща или нямаляваща + +\- \qquad Ако редицата е растяща и намаляваща едновременно, тя е \emph{стационарна} \newline + +Ако $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е растяща и ограничена отгоре, тя е сходяща. + +Ако $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е намаляваща и ограничена отдолу, тя е сходяща. + +\subsection{Неперово число} + +\noindent +\begin{align*} + e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right) +\end{align*} + +\section{\underline{Редици от релани числа. Граници на функции.}} + +\subsection{Подредици и точки на сгъстяване} + +\emph{Точка на сгъстяване: } $a \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстяване, ако във всяка околност на $a$ има безброй много членове на редицата + +\- \qquad За $D \subset \mathbb{R}$, $x_0 \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстяване, ако за всяка околност $U$ на $x_0$, $U \cap D$ е безкрайно \newline + +\- \qquad Ако $a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$, то $a$ е (единствената) точка на сгъстяване \newline + +\emph{Подредица: } Ако задраскаме част от членовете, така че да останат безкрайно много и запазим реда на останалите + +\- \qquad Ако $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1}$ е сходяща редица ($a_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$) и $\{ a_{n_k} \}^{\infty}_{k = 1}$ е нейна подредица, то $a_{n_k} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} a$ \newline + +\- \qquad $a$ е точка на сгъстяване, когато съществува $\{ a_{n_k} \}^{\infty}_{k = 1}$ на $\{ a_n \}^{\infty}_{n = 1}$, за която $a_{n_k} \xrightarrow[k \rightarrow \infty]{} a$ \newline + +\emph{Теорема на Болцано-Вайерщрас (Принцип за компактност): } Всяка ограничена редица има точка на сгъстяване. Еквивалентно, всяка ограничена редица има сходяща подредица. + +\subsection{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост} + +\emph{Фундаментална редица: } $\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \; \forall m \geq n_0 \; \forall n \geq n_0 : |a_m - a_n| < \varepsilon$ (тоест, чрез отстраняване на краен брой елементи от началото, разстоянието между произволни два от останалите може да се направи произволно малко) \newline + +\emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за сходимост на числова редица: } Една редица от реални числа е сходяща точно тогава, когато е фундаментална + +\subsection{Граница на функция} + +Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}, x_0 \in \mathbb{R}$ е точка на сгъстаяване на $D$ \newline + +\emph{Граница на функция (форма на Коши): } \newline +$f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клонящ към $x_0$, \newline +ако за всяка околност $U$ на $L$ съществува околност $V$ на $x_0$, така че за всяко $x \in V \cap D, x \neq x_0 : f(x) \in U$ +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \quad \text{ ако } \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| < \varepsilon +\end{align*} + +\emph{Граница на функция (форма на Хайне): } \newline +$f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клонящ към $x_0$, \newline +ако за всяка редица $\{ x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D \setminus \{ x_0 \}$, която клони към $x_0$, съответната редица от функционални стойности $\{ f(x_n) \}^{\infty}_{n = 1}$ клони към $L$ +\begin{align*} + \forall \{ x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D \setminus \{ x_0 \}, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x : f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} L +\end{align*} + +\section{\underline{Граници на функции}} + +\noindent +Дефинициите за граница на функция във \emph{формата на Коши} и във \emph{формата на Хайне} са еквивалентни + +\subsection{Основни свойства на граници} + +\begin{enumerate} + \item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} (f(x) + g(x)) = L_f + L_g$ + \item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} (f(x) \cdot g(x)) = L_f \cdot L_g$ + \item $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{L_f}{L_g}$, ако $L_g \neq 0$ +\end{enumerate} + +При неравенства +\begin{itemize} + \item Ако $f(x) \leq g(x)$ за $x \in D$, то $L_1 \leq L_2$ + \item Ако $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ за $x \in D$ и $L_1 = L_2$, то $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} h(x) = L_1 = L_2$ +\end{itemize} + +\emph{Композиция на функции: } $g \circ f: X \rightarrow Z$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, \quad при $f: X \rightarrow Y$ и $g: Y \rightarrow Z$ \newline + +\noindent +\emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за съществуване на граница на функция}: +\begin{align*} + & \exists L \in \mathbb{R} : \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x', x'' \in (D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{ x_0 \} : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon +\end{align*} + +\begin{align*} + \emph{Лява граница: } & \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) := \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \left. f \right|_{D \cap (-\infty, x_0)} \right)(x) \\ + \emph{Дясна граница: } & \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) := \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \left. f \right|_{D \cap (x_0, +\infty)} \right)(x) +\end{align*} + +\section{\underline{Непрекъснати функции}} + +\emph{Непрекъсната функция: } + +\- \quad \emph{Форма на Коши: }$(\forall x_0 \in D) \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ + +\- \quad \emph{Форма на Хайне: } $(\forall x_0 \in D) \; \forall \{ x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0: f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} f(x_0)$ + +\subsection{Основни теореми} + +Ако не е посочено друго, работим с $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, която е непрекъсната \newline + +\emph{Теорема на Болцано: } Ако $f(a) \cdot f(b) < 0$, то съществува $x_0 \in (a, b) : f(x_0) = 0$ \newline + +\emph{Теорема за междинните стойности: } Ако $f(a) < c < f(b)$ или $f(b) < c < f(a)$, то съществува $x_0 \in (a, b) : f(x_0) = c$ + +\emph{Интервал: } $\Delta \subset \mathbb{R}$ наричаме интервал, ако $x_1 \in \Delta, x_2 \in \Delta, x_1 < x_2 \implies [x_1, x_2] \subset \Delta$ \newline + +\emph{Теорема на Вайерщрас: } Щом $f$ е непрекъсната, то $f$ е ограничена и има най-голяма и най-малка стойност \newline + +\emph{Равномерна непрекъснатост: } За $f: D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}$, $f$ е равномерно непрекъсната в D, ако $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ (различава се с това, че никога не зависим от $x_0$) \newline + +\emph{Теорема на Кантор: } Ако $f$ е непрекъсната, то $f$ е равномерно непрекъсната в $[a, b]$ + +\section{\underline{Основни елементарни функции}} + +\emph{Продължение на функция: } За $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ казваме, че $\widetilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ е продължение на $f$, ако $\widetilde{f}(x) = f(x)$ за всяко $x \in \mathbb{Q}$ + +\- \quad $f$ притежава (единствено) непрекъснато продължение $\widetilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, когато $f$ е непрекъсната върху всеки ограничен затворен интервал $[c, d] \cap \mathbb{Q}$ \newline + +\emph{Експонента: } Единственото непрекъснато продължение $\widetilde{f}_a$ на $f_a(x) = a^x$ наричаме експонента с основа $a$, $a^x := \widetilde{f}_a (x) \; \forall x \in \mathbb{R}$ + +\subsection{Обратни тригонометрични функции} + +\noindent +\begin{enumerate} + \item $\arcsin$: $\qquad \left. \sin \right|_{\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]} : \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] \rightarrow [-1, 1] \qquad \arcsin \equiv \left( \left. \sin \right|_{\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]} \right)^{-1} : [-1, 1] \rightarrow \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ + + $\sin (\arcsin( y )) = y \quad \forall y \in [-1, 1] \qquad \arcsin (\sin (x)) = x \quad \forall x \in \left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ \text{(еквивалентно за останалите)} + + \item $\arccos$: $\qquad \left. \sin \right|_{[0, \pi]} : [0, \pi] \rightarrow [-1, 1] \qquad \arccos \equiv \left( \left. \cos \right|_{[0, \pi]} \right)^{-1} : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$ + + \item $\tg$: $\qquad \left. \tg \right|_{\left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)} : \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow (-\infty, +\infty) \qquad \arctg \equiv \left( \left. \tg \right|_{\left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)} \right)^{-1} : (-\infty, +\infty) \rightarrow \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)$ + + \item $\arccotg$: $\qquad \left. \cotg \right|_{(0, \pi)} : (0, \pi) \rightarrow (-\infty, +\infty) \qquad \arccotg \equiv \left( \left. \cotg \right|_{(0, \pi)} \right)^{-1} : (-\infty, +\infty) \rightarrow (0, \pi)$ +\end{enumerate} + +\subsection{Основни граници} + +\noindent +\begin{align*} + & \lim_{x \rightarrow x_0} x = x_0 \qquad \lim_{x \rightarrow x_0} c = c \qquad \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow 0} a^x = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \\ + & \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_a (1+x)}{x} = \log_a e \quad \left( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1 \right) \qquad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \\ + & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a , \; a > 0 \quad \left( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \right) \\ + & e^x = \lim_{n \rightarrow 0} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} \qquad e^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{p_n} \right)^{p_n b_n}, \quad p_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \pm \infty +\end{align*} + +\emph{Неравенство на Бернули: } $(1 + x) ^ n \geq 1 + nx, x \geq -1$ + +\section{\underline{Диференцируемост и производна}} + +\emph{Диференцируемост на функция: } $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ е диференцируема в точка $x \in \Delta$, ако съществува граница $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ +\begin{align*} + f'(x) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{y \rightarrow x} \frac{f(y) - f(x)}{y - x} +\end{align*} + +Ако $f$ е диференцируема в $x$, то $f$ е непрекъсната в $x$ + +\subsection{Правила за диференциране} + +\noindent +\begin{enumerate} + \item \emph{Диференциране на сума: } $(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ \newline + \emph{Диференциране на разлика: } $(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)$ + + \item \emph{Диференциране на произведение: } $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ \newline + \emph{Диференциране на произведение с константа: } $(cf)'(x) = cf'(x)$ \newline + \emph{Диференциране на частно: } $\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ + + \item \emph{Диференциране на композиция от функция: } $(g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)$ + + \item \emph{Дифернциране на обратна биекция: } $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ +\end{enumerate} + +\subsection{Основни производни} + +\noindent +\begin{align*} + & (e^x)' = e^x \qquad (a^x)' = a^x \cdot \ln a \quad (a > 0) \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1) \\ + & (x^a)' = ax^{a - 1} \\ + & (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = - \sin x \qquad (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad (\cotg x)' = \frac{1}{\sin^2 x} \\ + & (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \; x \in (-1, 1) \qquad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \; x \in (-1, 1) \\ + & (\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R} \qquad (\arccotg x)' = - \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R} +\end{align*} + +\section{\underline{Основни теореми за диференцируеми функции}} + +\emph{Локален екстремум на функция: } Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ има \emph{локален минимум} в $x_0$, ако съществува $\delta > 0$, такова че $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \in D$ и $f(x_0) \leq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Аналогично има \emph{локален максимум} ако $f(x_0) \geq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. + +\hfill + +\emph{Теорема на Ферма: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ е точка на локален екстремум и $f$ диференцируема в $x_0$. Тогава $f'(x_0) = 0$. + +\hfill + +\emph{Теорема на Рол: } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$ и $f(a) = f(b)$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = 0$. + +\subsection{Теорема на крайните нараствания и следствия} + +\emph{Теорема на Лагранж (Теорема за крайните нараствания): } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. + +\hfill + +\emph{Принцип за константност (Основна теорема на диференциалното смятане): } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. $f$ е константа точно тогава, когато $f'(x) = 0 \quad \forall x \in \Delta$. + +\hfill + +\emph{Принцип за монотонност: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. + +$f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \qquad $f$ намаляваща в $\Delta \iff$ $f'(x) \leq 0 \quad \forall x \in \Delta$ + +\hfill + +\emph{Производни от по-висок ред: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f'(x)$ съществува за всяко $x \in \Delta$. Означаваме $f''(x) := (f')'(x)$ и индуктивно дефинираме, $f^{(n + 1)} := \left( f^{(n)} \right)'$. $f^{(0)} := f$. + +\subsection{Обобщена теорема на крайните нараствания и следствия} + +\emph{Теорема на Коши (Обобщена теорема за крайните нараствания): } Нека $f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, \newline $f, g$ диференцируеми в $(a, b)$, $f,g$ непрекъснати в $[a, b]$ и $g'(x) \neq 0 \quad \forall x \in (a,b)$. \newline +Тогава съществува $\xi$, такова че $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b) - g(a)}$. + +\hfill + +\emph{1-ва теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{0}{0} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, непрекъснати в $b$, $f(b) = g(b) = 0$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. + +\hfill + +\emph{2-ра теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, $\lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = \infty$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. + +\section{\underline{Полином на Тейлър}} + +Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ са $n$ пъти диференцируеми. $\qquad (f+g)^{(n)} = f^{(n)} + g^{(n)} \qquad (c . f)^{(n)} = c . f^{(n)}$ + +\hfill + +\emph{Формула на Лайбниц: } Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал и са $n$ пъти диференцируеми. + +Тогава $(fg)^{(n)} = \sum\limits^n_{k=0} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ + +\subsection{Полином на Тейлър} + +\emph{Означение о-малко: } Нека $g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} 0$ и $g(x) \neq 0$. $f(x) = o(g(x))$ ($f(x)$ е о-малко от $g(x)$) ако $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ + +\hfill + +\emph{Полином на Тейлър от n-та степен около точка а: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $a \in \Delta$, $f$ е $(n-1)$ пъти диференцируема в $\Delta$, $f$ е $n$ пъти диференцируема в $a$. Тогава +\begin{align*} + T_n(x) = \quad f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i +\end{align*} + +\subsection{Формула на Тейлър} + +\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Пеано: } +\begin{align*} + f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; o\left( (x-a)^n \right) +\end{align*} + +\hfill + +\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Лагранж: } +\begin{align*} + f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; \underbrace{\frac{f^{(n+1)}\left( \xi (x) \right)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{\xi (x) \text{ е между } a \text{ и } x} +\end{align*} + +\hfill + +\emph{Формула на Маклорен: } Формула на Тейлър, за която $a = 0$ + +\subsection{Равитие на някои функции в ред на Маклорен} + +\noindent +\begin{align*} + \text{1. } & e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\ + \text{2. } & \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o\left( x^{2k+1} \right) \\ + \text{3. } & \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o\left( x^{2k} \right) \\ + \text{4. } & (1+x)^{\alpha} = \binom{\alpha}{0} + \binom{\alpha}{1}x + \binom{\alpha}{2}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o\left( x^n \right) \\ + \text{5. } & \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o \left( x^n \right) +\end{align*} + +\end{document}
\ No newline at end of file |