Renamed mathematical analysis to calculus

11 files changed, 122 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework1.pdf b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6f2e413
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework1.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework1.tex b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework1.tex
index 351cd0a..351cd0a 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework1.tex
+++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework1.tex
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.pdf
index bf90153..bf90153 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.pdf
+++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex
index e873ede..e873ede 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework2.tex
+++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex
diff --git a/Year 1/Calculus/notes-appendix.pdf b/Year 1/Calculus/notes-appendix.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e69b735
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Calculus/notes-appendix.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/notes-appendix.tex b/Year 1/Calculus/notes-appendix.tex
index 4be131c..77e620d 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/notes-appendix.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes-appendix.tex
@@ -264,6 +264,33 @@ $\{ a_n \}^{\infty}_{n=1}$ сходяща $\implies$ означаваме $a_n \
 
 \section{\underline{Граници на функции}}
 
+\noindent
+\emph{Доказателство на "Дефинициите за граница във формата на Коши и Хайне са еквивалентни"}
+
+\textbf{I.} Форма на Коши $\implies$ Форма на Хайне
+
+Нека $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$ и за произволна редица $x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0, x_n \in D, x_n \neq x_0$. Разглеждаме околност $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$. От деф. на Коши: $\exists \delta > 0 \; \forall x \in D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta), x \neq x_0 : f(x) \in (L - \varepsilon, L + \varepsilon)$
+
+Също, $\exists n_0 \; \forall n \geq n_0 : |x_n - x_0| < \delta$ и следователно $f(x_n) \in (L - \varepsilon, L + \varepsilon)$. Доказахме $f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} L$
+
+\textbf{II.} Форма на Хайне $\implies$ Форма на Коши
+
+Допускаме противното, тоест
+\begin{align*}
+	& \neg (\forall \varepsilon \exists \delta \forall x, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| < \varepsilon) \quad \equiv \quad \exists \varepsilon \forall \delta \exists x, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| \geq \varepsilon
+\end{align*}
+
+Разглеждаме при $\delta = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$:
+\begin{align*}
+	& \delta = 1 \Rightarrow \exists x_1, x_1 \geq x_0, |x_1 - x_0| < 1 : |f(x_1) - L| \geq \varepsilon \\
+	& \delta = \frac{1}{2} \Rightarrow \exists x_2, x_2 \geq x_0, |x_2 - x_0| < \frac{1}{2} : |f(x_2) - L| \geq \varepsilon \\
+	& \vdots \\
+	& \delta = \frac{1}{n} \Rightarrow \exists x_n, x_n \geq x_0, |x_n - x_0| < \frac{1}{n} : |f(x_n) - L| \geq \varepsilon \\
+	& \vdots
+\end{align*}
+
+Понеже $|x_n - x_0| < \frac{1}{n} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0$, имаме редицата $x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0$. От Хайне $\Rightarrow f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} L$, противоречие с $|f(x_n) - L| \geq \varepsilon \;$! \epr
+
 \section{\underline{Непрекъснати функции}}
 
 \section{\underline{Основни елементарни функции}}
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.pdf b/Year 1/Calculus/notes.pdf
new file mode 100644
index 0000000..978aa00
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Calculus/notes.pdf
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex
index e09ea0a..3f4c49a 100644
--- a/Year 1/Mathematical analysis/notes.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes.tex
@@ -25,6 +25,8 @@
 \renewcommand{\thesection}{Лекция \arabic{section}}
 \renewcommand{\thesubsection}{\quad\arabic{section}.\arabic{subsection}}
 
+\setlength\delimitershortfall{-2pt} % Прави вложените скоби да са по-малки
+
 \usepackage[pdfauthor={Kamen Mladenov: syndamia.com, gitlab.com/Syndamia},
 		    pdftitle={Mathematical Analysis, Computer Science 2021, Winter Semester},
 		    pdfsubject={Бележки по Математически анализ (Диференциално и интегрално смятане)},
@@ -385,4 +387,97 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 	& (\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R} \qquad (\arccotg x)' = - \frac{1}{1 + x^2}, \; x \in \mathbb{R}
 \end{align*}
 
+\section{\underline{Основни теореми за диференцируеми функции}}
+
+\emph{Локален екстремум на функция: } Нека $f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ има \emph{локален минимум} в $x_0$, ако съществува $\delta > 0$, такова че $(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \in D$ и $f(x_0) \leq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Аналогично има \emph{локален максимум} ако $f(x_0) \geq f(x)$ за всяко $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$.
+
+\hfill
+
+\emph{Теорема на Ферма: } Нека $f: D \rightarrow \mathbb{R}$, $x_0$ е точка на локален екстремум и $f$ диференцируема в $x_0$. Тогава $f'(x_0) = 0$.
+
+\hfill
+
+\emph{Теорема на Рол: } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$ и $f(a) = f(b)$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = 0$.
+
+\subsection{Теорема на крайните нараствания и следствия}
+
+\emph{Теорема на Лагранж (Теорема за крайните нараствания): } Нека $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ диференцируема в $(a,b)$, $f$ непрекъсната в точките $a, b$. Тогава съществува $\xi \in (a,b)$, такова че $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
+
+\hfill
+
+\emph{Принцип за константност (Основна теорема на диференциалното смятане): } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$. $f$ е константа точно тогава, когато $f'(x) = 0 \quad \forall x \in \Delta$.
+
+\hfill
+
+\emph{Принцип за монотонност: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f$ диференцируема в $\Delta$.
+
+$f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \qquad $f$ намаляваща в $\Delta \iff$ $f'(x) \leq 0 \quad \forall x \in \Delta$
+
+\hfill
+
+\emph{Производни от по-висок ред: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $f'(x)$ съществува за всяко $x \in \Delta$. Означаваме $f''(x) := (f')'(x)$ и индуктивно дефинираме, $f^{(n + 1)} := \left( f^{(n)} \right)'$. $f^{(0)} := f$.
+
+\subsection{Обобщена теорема на крайните нараствания и следствия}
+
+\emph{Теорема на Коши (Обобщена теорема за крайните нараствания): } Нека $f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, \newline $f, g$ диференцируеми в $(a, b)$, $f,g$ непрекъснати в $[a, b]$ и $g'(x) \neq 0 \quad \forall x \in (a,b)$. \newline
+Тогава съществува $\xi$, такова че $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b) - g(a)}$.
+
+\hfill
+
+\emph{1-ва теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{0}{0} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, непрекъснати в $b$, $f(b) = g(b) = 0$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.
+
+\hfill
+
+\emph{2-ра теорема на Лопитал (неопределеност $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$): } Нека $f, g: (a, b] \rightarrow \mathbb{R}$, диференцируеми в $(a, b)$, $\lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = \infty$, $g'(x) \neq 0$ в $(a, b)$ и съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Тогава съществува $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.
+
+\section{\underline{Полином на Тейлър}}
+
+Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$ са $n$ пъти диференцируеми. $\qquad (f+g)^{(n)} = f^{(n)} + g^{(n)} \qquad (c . f)^{(n)} = c . f^{(n)}$
+
+\hfill
+
+\emph{Формула на Лайбниц: } Нека $f, g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал и са $n$ пъти диференцируеми.
+
+Тогава $(fg)^{(n)} = \sum\limits^n_{k=0} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$
+
+\subsection{Полином на Тейлър}
+
+\emph{Означение о-малко: } Нека $g: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) \xrightarrow[x \rightarrow a]{} 0$ и $g(x) \neq 0$. $f(x) = o(g(x))$ ($f(x)$ е о-малко от $g(x)$) ако $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
+
+\hfill
+
+\emph{Полином на Тейлър от n-та степен около точка а: } Нека $f: \Delta \rightarrow \mathbb{R}$, $\Delta$ отворен интервал, $a \in \Delta$, $f$ е $(n-1)$ пъти диференцируема в $\Delta$, $f$ е $n$ пъти диференцируема в $a$. Тогава
+\begin{align*}
+	T_n(x) = \quad f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \quad = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i
+\end{align*}
+
+\subsection{Формула на Тейлър}
+
+\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Пеано: }
+\begin{align*}
+	f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; o\left( (x-a)^n \right)
+\end{align*}
+
+\hfill
+
+\emph{Формула на Тейлър за $f$ около а с остатъчен член във форма на Лагранж: }
+\begin{align*}
+	f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \; \underbrace{\frac{f^{(n+1)}\left( \xi (x) \right)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{\xi (x) \text{ е между } a \text{ и } x}
+\end{align*}
+
+\hfill
+
+\emph{Формула на Маклорен: } Формула на Тейлър, за която $a = 0$
+
+\subsection{Равитие на някои функции в ред на Маклорен}
+
+\noindent
+\begin{align*}
+	\text{1. } & e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\
+	\text{2. } & \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o\left( x^{2k+1} \right) \\
+	\text{3. } & \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o\left( x^{2k} \right) \\
+	\text{4. } & (1+x)^{\alpha} = \binom{\alpha}{0} + \binom{\alpha}{1}x + \binom{\alpha}{2}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o\left( x^n \right) \\
+	\text{5. } & \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} + o \left( x^n \right)
+\end{align*}
+
 \end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework1.pdf b/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework1.pdf
deleted file mode 100644
index af33069..0000000
--- a/Year 1/Mathematical analysis/Homeworks/Homework1.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/notes-appendix.pdf b/Year 1/Mathematical analysis/notes-appendix.pdf
deleted file mode 100644
index b743f25..0000000
--- a/Year 1/Mathematical analysis/notes-appendix.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/Year 1/Mathematical analysis/notes.pdf b/Year 1/Mathematical analysis/notes.pdf
deleted file mode 100644
index b10dd5c..0000000
--- a/Year 1/Mathematical analysis/notes.pdf
+++ /dev/null