Finished ex4 from dis hw3

1 files changed, 52 insertions, 1 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework3.tex b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework3.tex
index 32b41ca..49ae9ec 100644
--- a/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework3.tex
+++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework3.tex
@@ -20,6 +20,12 @@
 \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
 \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
 
+\usepackage{graphicx}
+
+\usepackage{tikz}
+\newcommand{\lipoint}[3]{\draw (#1, 3pt) -- (#1, -3pt) node[below] {#2} node[above] {#3}}
+\newcommand{\parch}[2]{\node[above] at (#1, 0) {#2} ; \draw (#1 + 0.5, 0) arc (0:180:0.5)}
+
 \usepackage{enumitem}
 \setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
 
@@ -72,7 +78,52 @@
 	f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}}
 \end{align*}
 
-\paragraph{Решение:} [TODO]
+\paragraph{Решение:}
+\begin{enumerate}[label={\emph{\arabic*.}}]
+	\item \emph{Дефиниционна Област: } $1 + x^2 > 0 \quad x^2 > -1 \implies x \in \mathbb{R}$
+	
+	\item \emph{Четност: }$f(-x) = \frac{-x - 1}{\sqrt{1 + (-x)^2}} = \frac{-x - 1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Не е равно на $f(x)$ или $-f(x)$, следователно нито е четна, нито е нечетна.
+	
+	\item \emph{Асимптоти: }
+	\begin{align*}
+		& \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{\sqrt{x^2 \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x(1 - \frac{1}{x})}{|x|\sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cancel{x} (1 - \frac{1}{x})}{\cancel{x} \sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = 1 \\
+		& \text{Аналогично } \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\cancel{x} (1 - \frac{1}{x})}{-\cancel{x} \sqrt{ \left(\frac{1}{x^2} + 1 \right)}} = -1
+	\end{align*}
+	Следователно, $y = 1$ е хоризонтална асимптота в $+\infty$ и $y = -1$ е хоризонтална асимптота в $-\infty$. Няма наклонена асимптота.
+	
+	\item \emph{Екстремуми: }
+	\begin{align*}
+		f'(x) & = \left( \frac{x - 1}{\sqrt{1 + x^2}} \right)' = \frac{(x-1)'\sqrt{1+x^2} - \left( \sqrt{1+x^2} \right)'(x-1)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^2} = \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}2x(x-1)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^2} = \\
+		& = \frac{2(1+x^2) - 2x^2 + 2x}{2 \left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3} = \frac{1 + x}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3} = 0 \implies x = -1
+	\end{align*}
+	$f'(x)$ е отрицателна в $(-\infty; -1)$ и положителна в $(-1; +\infty)$, следователно $f(x)$ има локален минимум в -1, за който $f(-1) = \frac{-2}{\sqrt{2}} = - \sqrt{2}$
+	
+	\item \emph{Изпъкналост: }
+	\begin{align*}
+		f''(x) & = \frac{(1+x)'\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 - \left( \left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 \right)' (1+x)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^6} = \frac{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^3 - \sqrt{1+x^2}(3x)(1+x)}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^6} = \\
+		& = \frac{(1 + x^2) - 3x - 3x^2}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^5} = \frac{1 - 3x - 2x^2}{\left( \sqrt{1+x^2} \right) ^5} = 0 \implies x_{1/2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{-4}
+	\end{align*}
+	$f''(x)$ е отрицателна в $\left( -\infty; \frac{3+\sqrt{17}}{-4} \right) \cup \left( \frac{3-\sqrt{17}}{-4}; +\infty \right)$ и положителна в $\left( \frac{3+\sqrt{17}}{-4} ; \frac{3-\sqrt{17}}{-4} \right)$. Следователно, в първия интервал $f(x)$ е вдлъбната и изпъкнала във втория. \newline
+	Пресмятаме: $\frac{3+\sqrt{17}}{-4} \approx -1.78 \quad f(-1.78) \approx -1.36 \qquad \frac{3-\sqrt{17}}{-4} \approx 0.28 \quad f(0.28) \approx -0.69$
+	
+	\item \emph{Характеристични точки: }
+	\begin{align*}
+		f(0) = \frac{-1}{\sqrt{1}} = -1 \qquad f(x) = 0 \quad \frac{x-1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \implies x = 1
+	\end{align*}
+	
+	\item \emph{Графика на функцията: } \newline
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{r|rrrrrrrrrrrrr}
+			$x$ & $-\infty$ && $\frac{3+\sqrt{17}}{-4}$ && $-1$ && $0$ && $\frac{3-\sqrt{17}}{-4}$ && $1$ && $+\infty$ \\
+			\hline
+			$f(x)$ && $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\searrow}$ & $\approx -1.36$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\searrow}$ & $-\sqrt{2}$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\nearrow}$ & -1 & $\genfrac..{0pt}{0}{\cup}{\nearrow}$ & $\approx -0.69$ & $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\nearrow}$ & 0 & $\genfrac..{0pt}{0}{\cap}{\nearrow}$ \\[1.2em]
+			$f'(x)$ && $-$ && $-$ & $0$ & $+$ && $+$ && $+$ && $+$ \\
+			$f''(x)$ && $-$ && $+$ && $+$ && $+$ && $-$ && $-$
+		\end{tabular}
+	
+		\includegraphics[scale=1]{func-graphic.png}
+	\end{center}
+\end{enumerate}
 
 \paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 5.}}