diff options
Renamed mathematical analysis to calculus
1 files changed, 290 insertions, 0 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex | 290 |
diff --git a/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex new file mode 100644 index 0000000..e873ede --- /dev/null +++ b/Year 1/Calculus/Homeworks/Homework2.tex @@ -0,0 +1,290 @@ +% Document MUST be built with XeLaTeX! +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[margin=1.5cm]{geometry} + +% Поддръжка на български език +% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 +\usepackage{fontspec} +\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} +\setmainfont{CMU Serif} +\setsansfont{CMU Sans Serif} + +\usepackage[bulgarian,english]{babel} + +\usepackage{amsmath} % Математически символи +\usepackage{extarrows} +\usepackage{amsfonts} % Още математически символи +\usepackage{cancel} % Зачертаване +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове +\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} + +\usepackage{tikz} +\newcommand{\lipoint}[3]{\draw (#1, 3pt) -- (#1, -3pt) node[below] {#2} node[above] {#3}} +\newcommand{\parch}[2]{\node[above] at (#1, 0) {#2} ; \draw (#1 + 0.5, 0) arc (0:180:0.5)} + +\usepackage{enumitem} +\setlist[enumerate]{label=\arabic*.} + +\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021}, + pdftitle={Домашна работа 2 по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток}, + pdfsubject={}, + pdfkeywords={}, + colorlinks=true, + urlcolor=blue]{hyperref} + +\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по ДИС 1. Компютърни науки, 1 курс, 2 поток} +\author{Камен Димитров Младенов, Група 6} +\date{20 Ноември 2021} + +\begin{document} + +\maketitle + +\noindent +\colorbox{YellowGreen}{\parbox{\textwidth}{\; Отличен 5,75/6 \qquad [Коментарите са под определените места]}} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 1.}} + +Дадена е редицата \hfill \colorbox{Dandelion}{0,6/0,8 т.} +\begin{align*} + a_1 = \lambda, \; a_{n+1} = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} +\end{align*} +Да се изследва за сходимост спрямо стойностите на параметъра $\lambda \neq 6$. + +\paragraph{Решение:} + +Разглеждаме за монотонност: +\begin{align*} + & a_{n+1} - a_n = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} - a_n = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 -a_n^2 + 6a_n}{a_n - 6} = \frac{a_n^2 + 5a_n + 6}{a_n - 6} = \frac{(a_n+3)(a_n+2)}{a_n - 6} \\ + & \implies \text{Корените за } a_n \text{ са -3, -2 и 6} +\end{align*} +\hfill +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex] (-0.25, 0) -- (4.25, 0) ; + \parch{3.5}{+} ; + \lipoint{3}{6}{} ; + \parch{2.5}{-} ; + \lipoint{2}{-2}{} ; + \parch{1.5}{+}; + \lipoint{1}{-3}{} ; + \parch{0.5}{-} ; +\end{tikzpicture} + +Разглеждаме положението на $a_{n+1}$ спрямо -3, -2 и 6 + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} - (-3) = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} + 3 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 + 3a_n - 18}{a_n - 6} = \frac{2a_n^2 + 2a_n - 12}{a_n - 6} \\ + & \implies \text{Корените за } a_n \text{ са -3, 2 и 6} +\end{align*} +\hfill +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex] (-0.25, 0) -- (4.25, 0) ; + \parch{3.5}{+} ; + \lipoint{3}{6}{} ; + \parch{2.5}{-} ; + \lipoint{2}{2}{} ; + \parch{1.5}{+}; + \lipoint{1}{-3}{} ; + \parch{0.5}{-} ; +\end{tikzpicture} + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} - (-2) = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} + 2 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 + 2a_n - 12}{a_n - 6} = \frac{2a_n^2 + a_n - 6}{a_n - 6} \\ + & \implies \text{Корените за } a_n \text{ са -2, $\frac{3}{2}$ и 6} +\end{align*} +\hfill +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex] (-0.25, 0) -- (4.25, 0) ; + \parch{3.5}{+} ; + \lipoint{3}{6}{} ; + \parch{2.5}{-} ; + \lipoint{2}{$\frac{3}{2}$}{} ; + \parch{1.5}{+}; + \lipoint{1}{-2}{} ; + \parch{0.5}{-} ; +\end{tikzpicture} + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} - 6 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} - 6 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 - 6a_n + 36}{a_n - 6} = \frac{2a_n^2 - 7a_n + 42}{a_n - 6} \genfrac..{0pt}{0}{\; >0}{} \\ + & \implies \text{Единствения корен за } a_n \text{ е 6} +\end{align*} +\hfill +\begin{tikzpicture} + \draw[-latex] (-0.25, 0) -- (2.25, 0) ; + \parch{1.5}{+}; + \lipoint{1}{6}{} ; + \parch{0.5}{-} ; +\end{tikzpicture} + +Разглеждаме положението на $a_{n+1}$ спрямо $\frac{3}{2}$ и 2 + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} - \frac{3}{2} = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 - \frac{3}{2}a_n + 9}{a_n - 6} = \frac{2a_n^2 - \frac{5}{2}a_n + 15}{a_n - 6} \genfrac..{0pt}{0}{\; >0}{} \\ + & \implies \text{Единствения корен за } a_n \text{ е 6} +\end{align*} + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} - 2 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} - 2 = \frac{2a_n^2 - a_n + 6 - 2a_n + 12}{a_n - 6} = \frac{2a_n^2 - 3a_n + 18}{a_n - 6} \genfrac..{0pt}{0}{\; >0}{} \\ + & \implies \text{Единствения корен за } a_n \text{ е 6} +\end{align*} + +Разглеждаме положението на $a_{n+1}$ + +\noindent +\begin{align*} + & a_{n+1} = \frac{2a_n^2 - a_n + 6}{a_n - 6} \genfrac..{0pt}{0}{\; >0}{} \implies \text{Единствения корен за } a_n \text{ е 6} +\end{align*} + +\begin{center} + \begin{tabular}{c|ccccccccccc} + $a_n$ & $-\infty$ & -3 & & -2 & & $\frac{3}{2}$ & & 2 & & 6 & $+\infty$ \\ + \hline + $a_{n+1} - a_n$ & - & 0 & + & 0 & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\ + $a_{n+1} - (-3)$ & - & 0 & + & \vdots & + & \vdots & + & 0 & - & 0 & + \\ + $a_{n+1} - (-2)$ & - & \vdots & - & 0 & + & 0 & - & \vdots & - & 0 & + \\ + $a_{n+1}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\ + $a_{n+1} - \frac{3}{2}$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\ + $a_{n+1} - 2$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\ + $a_{n+1} - 6$ & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & \vdots & - & 0 & + \\ + \end{tabular} +\end{center} + +\begin{enumerate}[label={\textbf{\arabic*. Случай}},leftmargin=5.8em] + \item $\lambda < -3$ \quad В този интервал $a_{n+1} < a_n$, следователно $a_{n+1} < -3$ и редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$ не е сходяща. + \colorbox{RedOrange}{дивергира към $-\infty$} + + \item $\lambda = -3$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. Ще докажем по индукция, че $a_n = -3$: + \begin{itemize} + \item \emph{База:} Вярно за $a_1, a_2, a_3$ + \item \emph{Индукционно предположение:} $a_{n-1} = -3$ за някое $n \geq 1$. + \item \emph{Индукционна стъпка:} $a_n \xlongequal{def} \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \xlongequal{\text{ИП}} \frac{2 \cdot 9 + 3 + 6}{-3 -6} = -3$ + \end{itemize} + То тогава редицата е стационарна и следователно сходяща. + + \item $\lambda \in (-3, -2)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$. Ще докажем по индукция, че $a_n \in (-3; -2)$: + \begin{itemize} + \item \emph{База:} Вярно за $a_1, a_2, a_3$ + \item \emph{Индукционно предположение:} $a_{n-1} \in (-3; -2)$ за някое $n \geq 1$. + \item \emph{Индукционна стъпка:} $a_n \xlongequal{def} \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{>} \frac{2(-3)^2 - (-3) + 6}{(-3) - 6} = -3$ \newline + $\- \qquad \frac{2a_{n-1}^2 - a_{n-1} + 6}{a_{n-1} - 6} \stackrel{\text{ИП}}{<} \frac{2(-2)^2 - (-2) + 6}{(-2) - 6} = -2$ + \colorbox{RedOrange}{не е достатъчно само да е ограничена: монотонна е} + \end{itemize} + То тогава редицата е ограничена отдолу и отгоре. Следователно тя е сходяща. \colorbox{RedOrange}{към?} + + \item $\lambda = -2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща. + + \item $\lambda \in \left(-2, \frac{3}{2}\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_1, a_2 > -2$. Знаем, че $a_{n+1} < \frac{3}{2}$, тоест по индукция намираме, че $a_n \in \left(-2; \frac{3}{2}\right)$. То редицата е огрничена и следователно сходяща. \colorbox{Dandelion}{аналогично на 3.} + + \item $\lambda = \frac{3}{2}$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -2$ и $a_3 = -2$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща. + + \item $\lambda \in \left(\frac{3}{2}, 2\right)$ \quad Пресмятаме, че $a_2 \in (-3; -2)$ и $a_3 \in (-3; -2)$ и по индукция $a_n \in (-3; -2)$. Тоест редицата е ограничена и следователно сходяща. \colorbox{Dandelion}{аналогично на 3.} + + \item $\lambda = 2$ \quad Пресмятаме, че $a_2 = -3$ и $a_3 = -3$. По индукция, следва че редицата е стационарна и следователно сходяща. + + \item $\lambda \in (2, 6)$ \quad По индукция намираме, че $a_n < -3$. $a_{n+1} < a_n$, следователно редицата е монотонно намаляваща, но не е ограничена отдолу. Тоест не е сходяща. \colorbox{RedOrange}{дивергира към $-\infty$} + + \item $\lambda > 6$ \quad По индукция намираме, че $a_n > 6$. Знаем, че $a_{n+1} > a_n$, следователно редицата е монотонно растяща, но не е ограничена отгоре. Тоест не е сходяща. \colorbox{RedOrange}{дивергира към $+\infty$} +\end{enumerate} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 2.}} + +Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8-/0,8 т.} +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1} - \sqrt[3]{4x^2 - 1}}{\sqrt[4]{x^4 + 7} - \sqrt[5]{x^4 - 3}} +\end{align*} + +\paragraph{Решение:} +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1} - \sqrt[3]{4x^2 - 1}}{\sqrt[4]{x^4 + 7} - \sqrt[5]{x^4 - 3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\cancel{x} \sqrt{2 + \frac{1}{x^2}} - \cancel{x} \sqrt[3]{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}}}{\cancel{x} \sqrt[4]{1 + \frac{7}{x^4}} - \cancel{x} \sqrt[5]{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^4}}} = L + \quad \colorbox{RedOrange}{под последния корен е $x^5$ вместо $x^4$} +\end{align*} +\begin{align*} + & \sqrt{2} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \sqrt{2} \;,\; \frac{1}{x^2} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{4}{x} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{1}{x^3} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \\ + & \sqrt[4]{1} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \sqrt[4]{1} \;,\; \frac{7}{x^4} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{1}{x} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 \;,\; \frac{3}{x^4} \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} 0 + \qquad \implies L = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{1}} = \answerbox{\sqrt{2}} +\end{align*} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 3.}} + +Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8/0,8 т.} +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{5x + 1} - \sqrt[4]{7x + 1}}{\arctg(\ln(x+1))} +\end{align*} + +\paragraph{Решение:} + +\begin{align*} + \arctg(\ln(x+1)) \sim \ln(x+1) \quad x \rightarrow 0 \qquad \sqrt[3]{5x + 1} = \underbrace{(1 + 5x)^{\frac{1}{3}} - 1}_{\sim \frac{5x}{3} \quad x \rightarrow 0} + 1 \qquad \sqrt[4]{7x + 1} = \underbrace{(1 + 7x)^{\frac{1}{4}} - 1}_{\sim \frac{7x}{4} \quad x \rightarrow 0} + 1 +\end{align*} +\begin{align*} + \implies \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{5x + 1} - \sqrt[4]{7x + 1}}{\arctg(\ln(x+1))} \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{5x}{3} + 1 - \left( \frac{7x}{4} + 1 \right)}{\ln(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{20x - 21x}{12}}{\ln(x+1)} = \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{x}{12 \ln(x+1)} = L +\end{align*} +\begin{align*} + \frac{x}{\ln(x+1)} \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 1 \implies L = \answerbox{- \frac{1}{12}} +\end{align*} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 4.}} + +Да се пресметне $f^{(n)}(x)$, където \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8/0,8 т.} +\begin{align*} + f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - 7x}} +\end{align*} + +\paragraph{Решение:} + +\begin{align*} + g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 7x}} = (1 - 7x)^{-\frac{1}{2}} \qquad h(x) = x^3 \qquad\qquad \implies f(x) = g(x) \cdot h(x) +\end{align*} +\begin{align*} + g^{(n)}(x) = \left( (1 - 7x)^{-\frac{1}{2}} \right)^{(n)} & = \left(-\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} - 1 \right) \left( -\frac{1}{2} - 2 \right) \cdots \left( -\frac{1}{2} - n + 1 \right) \cdot x^{-\frac{1}{2} - n} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} = \\ + & = \frac{(-1)(-3)(-5) \cdots (-1-2n+2)}{2^n} \cdot x^{-\frac{1}{2} - n} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} = \\ + & = \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \cdot x^{-\frac{1+2n}{2}} \cdot 7^n \cdot (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} +\end{align*} +\begin{align*} + h^{(0)}(x) = h(x) = x^3 \quad h'(x) = 3x^2 \quad h''(x) = 6x \quad h'''(x) = 6 \quad h^{IV}(x) = 0 \quad \implies h^{(n)}(x) = 0 \quad n \geq 4 +\end{align*} +\begin{align*} + f^{(n)} & = \sum_{k = 0}^n g^{(n-k)} h^{(k)} = \binom{n}{0}g^{(n)}h^{(0)} + \binom{n}{1}g^{(n-1)}h^{(1)} + \binom{n}{2}g^{(n-2)}h^{(2)} + \binom{n}{3}g^{(n-3)}h^{(3)} + \\ + & \quad + \underbrace{\binom{n}{4}g^{(n-4)}h^{(4)} + \cdots + \binom{n}{0}g^{(0)}h^{(n)}}_{0} = \\ + & = 1 \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \; x^{-\frac{1+2n}{2}} \; 7^n \; (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} \cdot x^3 \\ + & \quad + n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-1}{2}} \; 7^{n-1} \; (1-7x)^{-\frac{2n-1}{2}} \cdot 3x^2 \\ + & \quad + \frac{n!}{2(n-2)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^{n-2}} \; x^{-\frac{2n - 3}{2}} \; 7^{n-5} \; (1-7x)^{-\frac{2n-2}{2}} \cdot 6x \\ + & \quad + \frac{n!}{6(n-3)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^{n-3} \; (1-7x)^{-\frac{2n-7}{2}} \cdot 6 = \\ + & = \frac{(-1)(-3) \cdots (1-2n)}{2^n} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^n \; (1-7x)^{-\frac{2n+1}{2}} \\ + & \quad + 3n \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (3-2n)}{2^{n-1}} \; x^{-\frac{2n-5}{2}} \; 7^{n-1} \; (1-7x)^{-\frac{2n-1}{2}} \\ + & \quad + 3\frac{n!}{(n-2)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (5-2n)}{2^{n-2}} \; x^{-\frac{2n-7}{2}} \; 7^{n-5} \; (1-7x)^{-\frac{2n-2}{2}} \\ + & \quad + \frac{n!}{(n-3)!} \cdot \frac{(-1)(-3) \cdots (7-2n)}{2^{n-3}} \; x^{-\frac{2n-2}{2}} \; 7^{n-3} \; (1-7x)^{-\frac{2n-7}{2}} +\end{align*} + +\paragraph{\colorbox{yellow}{Задача 5.}} + +Да се пресметне границата \hfill \colorbox{YellowGreen}{0,8-/0,8 т.} +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}} +\end{align*} + +\paragraph{Решение:} + +\begin{align*} + \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) ^ {\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2} \cdot \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right)} = e^l +\end{align*} +\begin{align*} + l & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} \right) \qquad \ln\left( \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 + 1 \right) \sim \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 \quad x \rightarrow 0 \quad \colorbox{RedOrange}{$\frac{\sin x}{\arcsin x} \rightarrow 1$ при $x \rightarrow 1$} \\ + & \implies l \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{\sin x}{\arcsin x} - 1 \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{\sin x - \arcsin x}{\arcsin x} \right) \qquad \arcsin x \sim x \quad x \rightarrow 0 \\ + & \implies l \xlongequal{(\sim)} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \left( \frac{\sin x - \arcsin x}{x} \right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x - \arcsin x}{x^3} \xlongequal{\text{Лопитал } \left[ \frac{0}{0} \right]} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2} \\ + & \qquad \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \quad \left( (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right)' = -\frac{1}{2} (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left( (1-x^2) \right)' = x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \\ + & \implies l \xlongequal{\text{Лопитал } \left[ \frac{0}{0} \right]} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x - x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}}{6x} \\ + & \qquad \left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)' = \left( \frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} \right)' = \frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{2}(1-x^2)^{\frac{1}{2}} 2x \cdot x}{(1-x^2)^3} = \frac{(1-x^2)\sqrt{1-x^2} + 3x^2\sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)^3} = \\ + & \qquad = \frac{2x^2+1}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \\ + & \implies l \xlongequal{\text{Лопитал } \left[ \frac{0}{0} \right]} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\cos x - \frac{2x^2+1}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}}}{6} \qquad \cos x \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 1 \qquad \frac{2x^2+1}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} 1 \quad \implies l = -\frac{1}{3} +\end{align*} + +Следователно, търсената граница е: $e^l = e^{-\frac{1}{3}} = \answerbox{\frac{1}{\sqrt[3]{e}}}$ + +\end{document}
\ No newline at end of file |