Added algebra topics from session exam

1 files changed, 104 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex
new file mode 100644
index 0000000..ac3859d
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Симетрични и ермитови матрици и оператори.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, матрица $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ е симетрична ако $\overline{A}^t = A$. Също, матрица $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ е ермитова ако $\overline{A}^t = A$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че множествата $M_{n \times n}^{sym} (\mathbb{R}) = \{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \mid A^t = A \}$ и $M_{n \times n}^{Herm} (\mathbb{C}) = \{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) \mid \overline{A}^t = A \}$ са линейни пространства над полето на реалните числа.
+
+\textbf{Доказателство:} За произволни $M, N \in M_{m \times n}(\mathbb{C})$: $\overline{(M+N)}_{i,j} = \overline{(M+N)_{i,j}} = \overline{(M_{i,j} + N_{i,j})} = \overline{M_{i,j}} + \overline{N_{i,j}} = \overline{(M)}_{i,j} + \overline{(N)}_{i,j} = (\overline{M} + \overline{N})_{i,j} \quad \forall i \in \{ 1, ..., m \}, \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ (защото $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ за произволни $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$). \epr
+
+За произволни $M \in M_{m \times n}(\mathbb{C})$ и $z \in \mathbb{C}$: $\overline{(zM)}_{i,j} = \overline{(zM)_{i,j}} = \overline{(zM_{i,j})} = \overline{z} \cdot \overline{(M_{i,j})} = \overline{z} \cdot \overline{(M)}_{i,j} = (\overline{z} \cdot \overline{M})_{i,j} \quad \forall i \in \{ 1, ..., m \}, \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ (защото $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \; \overline{z_2}$ за произволни $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$).
+
+Следователно, ако $\overline{A}^t = A$ и $\overline{B}^t = B$, то $\overline{(A+B)}^t = \overline{A}^t + \overline{B}^t = A + B$ и за произволно $\lambda \in \mathbb{R}$ $\overline{(\lambda A)}^t = \overline{\lambda} \cdot \overline{A}^t = \lambda A$. То тогава $A+B$ и $\lambda A$ са симетрични/ермитови матрици и множеството на симетричните/ермитовите матрици е линейно пространство над $\mathbb{R}$. \epr
+
+Твърдим, че за обратима симетрична/ермитова матрица, обратната \`и матрица също е \newline симетрична/ермитова.
+
+\textbf{Доказателство:} По определение, $AA^{-1} = E_n$, то тогава $E_n = \overline{E_n}^t = \overline{(A A^{-1})}^t = (\overline{A} \cdot \overline{A^{-1}} )^t = \overline{A^{-1}}^t \cdot \overline{A}^t = \overline{A^{-1}}^t \cdot A$ (показахме в доказателството на минала теорема, че $\overline{MN} = \overline{M} \cdot \overline{N}, \quad M, N \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$). Имайки предвид, че $Z = A^{-1}$ е единственото решение на $ZA = E_n$ (по определение), то $\overline{A^{-1}}^t = A^{-1}$ и $A^{-1}$ е обратима. \epr
+
+Твърдим, че за симетрични $A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ или ермитови $A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ матрици, при които $AB = BA$, $AB$ е симетрична/ермитова матрица.
+
+\textbf{Доказателство:} $\overline{(AB)}^t = (\overline{A} \cdot \overline{B})^t = \overline{B}^t \cdot \overline{A}^t = BA = AB$ \epr
+
+По определение, за евклидово (или унитарно) пространство $V$, линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$ се нарича симетричен (или ермитов) ако $\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle, \forall u, v \in V$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$ с линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$, следните условия са еквивалентни:
+
+\noindent
+1) $\varphi$ е симетричен/ермитов оператор
+
+\noindent
+2) за произволен базис $a_1, ..., a_n$ на $V$ е изпълнено $\langle \varphi(a_i), a_j \rangle = \langle a_i, \varphi(a_j) \rangle \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$
+
+\noindent
+3) за произволен ортонормиран базис $b_1, ..., b_n$ на $V$ е изпълнено $\langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$
+
+\noindent
+4) спрямо ортонормиран базис $b_1, ..., b_n$ на $V$, матрицата на $\varphi$ е симетрична/ермитова
+
+\textbf{Доказателство:} $1) \Rightarrow 2) \Rightarrow 3)$ Очевидно
+
+$3) \Leftrightarrow 4)$ Нека $A = (A_{ij})_{i,j=1}^n \in M_{n \times n}(F)$ да бъде матрицата на $\varphi$ спрямо ортонормирания базис $b_1, ..., b_n$. Координатите на $\varphi(b_i)$ са разположени в $i$-тия стълб, тогава $\langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \left\langle \sum\limits_{s=1}^n A_{si}b_s \; , \; b_j \right\rangle = \sum\limits_{s=1}^n A_{si} \langle b_s , b_j \rangle = A_{ji} \langle b_j , b_j \rangle = A_{ji}$ и $\langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \left\langle b_i \; , \; \sum\limits_{s=1}^n A_{sj}b_s \right\rangle = \sum\limits_{s=1}^n \overline{A_{sj}} \langle b_i , b_s \rangle = \overline{A_{ij}} \langle b_i , b_i \rangle = \overline{A_{ij}}$. Тоест 3) е еквивалентно на $A_{ij} = \langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \overline{A_{ij}} \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$. Имайки предвид, че $(\overline{A}^t)_{ji} = (\overline{A})_ij = \overline{A_{ij}}$, то $A_{ji} = (\overline{A}^t)_{ji}$, което се свежда до $A = \overline{A}^t$.
+
+$3) \Rightarrow 1)$ По предположение, за произволни вектори $u = \sum\limits_{i=1}^n x_i b_i \in V$ и $v = \sum\limits_{j=1}^n y_j b_j \in V$ е изпълнено
+\begin{align*}
+	\langle \varphi(u), v \rangle & = \left\langle \varphi \left( \sum_{i=1}^n x_i b_i \right), \sum_{j=1}^n y_j b_j \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i \varphi(b_i), \sum_{j=1}^n y_j b_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i \overline{y_j} \langle \varphi(b_i), b_j \rangle \\
+	& = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i \overline{y_j} \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i b_i, \sum_{j=1}^n y_j \varphi(b_j) \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i b_i, \varphi \left(  \sum_{j=1}^n y_j b_j \right) \right\rangle = \left\langle u, \varphi(v) \right\rangle
+\end{align*}
+Следователно $\varphi$ е симетричен/ермитов оператор. \epr
+
+Твърдим, че при ненулево крайномерно евклидово/унитарно пространство $V$, за симетричен/ермитов оператор $\varphi: V \rightarrow V$, характеристичните му корени са реални числа.
+
+\textbf{Доказателство:} Първо ще проверим, че е вярно за произволна собствена стойност. Избираме произволен собствен вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ с произволна собствена стойност $\lambda \in \mathbb{C}$. Тогава $\overline{\lambda}||v||^2  = \langle v, \lambda v \rangle = \langle v, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(v), v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \lambda ||v||^2$. Следователно $(\overline{\lambda} - \lambda)||v||^2 = \overline{\lambda} ||v||^2 - \lambda ||v||^2 = 0$. Понеже $||v||^2 \in \mathbb{R}^{>0}$, то $\overline{\lambda} = \lambda \in \mathbb{R}$.
+
+Разглеждаме ермитов оператор $\varphi: V \rightarrow V$. Сега ще покажем, че е вярно за всички собствени стойности. По определение, $f_{\varphi}(x) \in \mathbb{C}[x] \setminus \mathbb{C}$ има комплексни коефициенти и съгласно основната теорема на алгебрата, всички корени на $f_{\varphi}(x) = 0$ са комплексни числа. Нека $A$ да бъде матрицата на $\varphi$ спрямо произволен ортонормиран базис. Всички характеристични корени на $\varphi$ са собствени стойности (твърдение) и от първата стъпка, следва че корените са реални числа.
+
+Всяка матрица на ермитов оператор се реализира спрямо ортонормиран базис. Тоест характеристичните корени на $\varphi$ съвпадат с тези на $A$ и характеристичните корени на ермитова матрица са реални числа.
+
+Всяка симетрична матрица е и ермитова, понеже $M_{n \times n}^{sym}(\mathbb{R}) \subset M_{n \times n}^{Herm}(\mathbb{C})$ и затова характеристичните корени на симетрични матрици са реални числа. \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ със симетричен или ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$, собствените му вектори са ортогонални помежду си си.
+
+\textbf{Доказателство:} Прилагаме определението за симетричност/ермитовост на $\varphi$ към собствените вектори $u, v \in V \setminus \{ \zv \}$: $\mu \langle u, v \rangle = \overline{\mu} \langle u, v \rangle = \langle u, \mu v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(u), v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$. Следователно $(\lambda - \mu)\langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle - \mu \langle u, v \rangle = 0$, където $\lambda \neq \mu \implies \langle u, v \rangle = 0$ и $u, v$ са ортогонални (помежду си). \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$, симетричен/ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$ и $\varphi$-инвариантно подпространство $U \subset V$, ортогоналното допълнение $U^{\bot}$ е $\varphi$-инвариантно.
+
+\textbf{Доказателство:} За произволни $u \in U, v \in U^{\bot}$: $\langle u, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(u), v \rangle = 0$, имайки предвид че $\varphi(u) \in U$. Следователно $\varphi(v) \in U^{\bot}$ и $U^{\bot}$ е $\varphi$ инвариантно. \epr
+
+Твърдим, че в $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ и произволен симетричен/ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$ съществува ортонормиран базис $e = (e_1, ..., e_n)$ на $V$, за който матрицата на $\varphi$ е диагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще докажем твърдение с индукция по $n = \dim V$.
+
+\textit{База:} $n = 1$ Няма какво да се доказва
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Ако $\varphi$ е ермитов оператор, то съществува собствен вектор по теорема. Ако $\varphi$ е симетричен оператор, то всички характеристични корени са реални числа и тогава са и собствени стойности, следователно съществува собствен вектор отговарящ на някоя собствена стойност.
+
+Нека този вектор да е $v_1 \in V \setminus \{ \zv \}$ със собствена стойност $\lambda_1 \in \mathbb{R}$. $e_1 = \frac{v_1}{||v_1||} \in l(v_1)$ и забелязваме, че $U := l(e_1) = l(v_1)$. От индукционното предположение, съществува ортонормиран базис $e_2, ..., e_n$ на $U^{\bot}$ за който матрицата на $\varphi: U^{\bot} \rightarrow U^{\bot}$ е диагонална. Тогава $e_1, ..., e_n$ е ортонормиран базис на $V = U \oplus U^{\bot}$ и матрицата на $\varphi : V = U \oplus U^{\bot} \rightarrow V = U \oplus U^{\bot}$ е диагонална. \epr
+
+Твърдим, че за симетрична или ермитова матрица $A$ съществува ортогонална матрица $T$, такава че $D = T^{-1}AT = \overline{T}^tAT$ е диагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо ортонормиран базис $f$ на $n$-мерно евклидово/унитарно пространство $V$. От миналото твърдение знаем, че операторът на $\varphi$ е симетричен/ермитов и съществува ортонормиран базис $e$ за който матрицата $D$ на $\varphi$ е диагонална. Матрицата на прехода $T$ от $f$ към $e$ е ортогонална/унитарна и $D = T^{-1}AT = \overline{T}^tAT$. \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file