Added algebra topics from session exam

11 files changed, 511 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.pdf b/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..971c588
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.tex
new file mode 100644
index 0000000..2602c40
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic1.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Базис, размерност и координати}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, базис е всяка линейно независима система вектори от ненулево линейно простран- ство, чиято линейна обвивка съвпада със самото пространство.
+
+Също по определение, линейно пространство е крайно, когато е нулевото пространство или когато има краен базис.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че линейно пространство е крайномерно, тогава и само тогава когато е линейна обвивка на краен брой вектори. А ако пространството е и ненулево, то подмножество на образуващите линейната обвивка вектори може да бъде избрано за базис.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме произволно линейно пространство $V$ над поле $F$. Ако $V = \{ \zv \}$, то $V$ е линейна обвивка на един вектор. Ако $V$ има краен базис, то $V$ е линейна обвивка на краен брой вектори. Нека $V = l(a_1, ..., a_n)$. Ако $a_i = \zv \forall i \in \{ 1, ..., n \}$, то $V = \{ \zv \}$ .
+
+Ако съществува $a_i \neq \zv$, нека след преномерация $a_1 \neq \zv$. Тогава $a_1$ е линейно независим и $l(a_1) \subseteq V$. Ако $l(a_1) = V$, то $V$ е крайномерно, иначе $l(a_1) \subset V = l(a_1, a_2, ..., a_n)$ и съществува вектор (след преномерация) $a_2 \notin l(a_1)$. От лемата за линейна независимост, $a_1, a_2$ са линейно независими.
+
+Аналогично, $l(a_1, a_2) \subseteq l(a_1, ..., a_n)$, ако $l(a_1, a_2) = l(a_1, ..., a_n)$, то $V$ е крайно, иначе след преноме- рация намираме вектор $a_3 \notin l(a_1, a_2)$ и пак от лемата за линейна независимост, $a_1, a_2, a_3$ са линейно независими.
+
+$a_1, ..., a_n$ са краен брой вектори, така че след като направим аналогични разсъждения краен брой пъти, ще намерим линейно независими вектори $a_1, ..., a_k, k \leq n$, за които $l(a_1, ..., a_k) = V$ и са базис на $V$. \epr
+
+Твърдим, че всеки два базиса на ненулево крайномерно пространство имат един и същ брой вектори.
+
+\textbf{Доказателство:} Нека $a_1, ..., a_n$ и $b_1, ..., b_m$ са базиси на линейно пространство $V$ над поле $F$. Съгласно основната лема на линейната алгебра върху $b_1, ..., b_m \in V = l(a_1, ..., a_n)$, следва че $m \leq n$. Аналогично от $a_1, ..., a_n \in V = l(b_1, ..., b_m)$ намираме, че $n \leq m$. Следователно, $m = n$. \epr
+
+По определение, броят на векторите във всеки един базис на ненулево крайномерно пространство $V$ се нарича размерност на $V$ и се бележи с $\dim V$. Ако пространството е нулевото пространство, то размерността е нула. Ако пространството не е крайномерно, размерността е безкрайност.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за вектори $e_1, ..., e_n$ от линейно пространство $V$ над поле $F$, свойства $1)$ и $2)$ са еквивалентни:
+
+$1)$ $e_1, ..., e_n$ е базис на $V$
+
+$2)$ всеки вектор $v \in V$ има единствено представяне като линейна комбинация на векторите $e_1, ..., e_n$ с коефициенти $x_1, ..., x_n \in F$: $v = x_1e_1 + ... + x_ne_n$
+
+\textbf{Доказателство:} $1) \Rightarrow 2)$ По предположение, $V = l(e_1, ..., e_n)$. Допускаме противното, тоест че съществуват поне две различни представяния за произволен вектор $v \in V$: $x_1e_1 + ... + x_ne_n = v = y_1e_1 + ... + y_ne_n, \;\; x_i, y_i \in F, x_i \neq y_i \forall i \in \{ 1, ..., n \}$. То тогава $(x_1 - y_1)e_1 + ... + (x_n - y_n)e_n = \zv$. $e_1, ..., e_n$ са линейно независими, следователно $x_i - y_i = 0 \quad x_i = y_i \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$, противоречие!
+
+$2) \Rightarrow 1)$ От предположение, следва че $x_1e_1 + ... + x_ne_n = \zv = 0e_1 + ... + 0e_n \Rightarrow x_1 = ... = x_n = 0$. Тоест $\zv$ има единствено представяне с нулеви коефициенти и следователно $e_1, ..., e_n$ са линейно независими и базис. \epr
+
+Твърдим, че за ненулево линейно пространство $V$ над поле $F$, $\dim V = n$ тогава и само тогава, когато съществуват $n$ линейно независими вектора във $V$ и произволни $n+1$ вектора са линейно зависими.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Нека $\dim V = n$ и $e_1, ..., e_n \in V$ са базис на $V$. То тогава, от лемата за линейната независимост, произволни $n+1$ вектора $a_1, ..., a_{n+1} \in V = l(e_1, ..., e_n)$ са линейно зависими.
+
+$(\Leftarrow)$ Нека $a_1, ..., a_n \in V$ са линейно независими вектори и всички произволни $n+1$ на брой вектора са линейно зависими. Ще докажем, че $a_1, ..., a_n$ са базис на $V$ и $\dim V = n$. Допускаме противното, тоест че $l(a_1, ..., a_n) \subset V$. Тогава от лемата за линейна независимост, съществува $a_{n+1} \in V \setminus l(a_1, ..., a_n)$, такъв че $a_1, ..., a_{n+1}$ са линейно независими. Обаче, всеки $n+1$ на брой вектора са линейно зависими, противоречие! \epr
+
+Твърдим, че за ненулево линейно пространство $V$ над поле $F$, $\dim V = \infty$ тогава и само тогава, когато съществуват $n$ на брой линейно независими вектора от $V$ за всяко естествено $n$.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Допускаме противното, тоест $\dim V = \infty$ и за произволно $n$ съществуват произволни линейно зависими вектори $b_1, .., b_n \in V$. Понеже $V$ е ненулево, то със сигурност има поне един линейно независим вектор и $n \geq 2$. Ако $n$ е минималното естествено число с това свойство, то съществуват $n - 1$ линейно независими вектори. Съгласно миналото твърдение, следва че $\dim V = n - 1$, противоречие!
+
+$(\Leftarrow)$ Допускаме противното, тоест за всяко естествено число $n$ съществуват $n$ на брой линейно независими вектора от $V$ и $\dim V \neq \infty$. Понеже $V$ е ненулево, то $\dim V = m$ за някое естествено $m$, тогава от миналото твърдение, произволни $m + 1$ вектора са линейно зависими, противоречие! \epr
+
+Твърдим, че за вектори $a_1, ..., a_n$ от $n$-мерно линейно независимо пространство $V$ над поле $F$, условия $1), 2)$ и $3)$ са еквивалентни:
+
+$1)$ $a_1, ..., a_n$ са линейно независими \hfill $2)$ $l(a_1, ..., a_n) = V$ \hfill $ 3)$ $a_1, ..., a_n$ е базис на $V$
+
+\textbf{Доказателство:} $3) \Rightarrow 1)$ и $2)$ Изпълнено по определение за базис
+
+$1) \Rightarrow 2)$ и $3)$ Допускаме противното, тоест $l(a_1, ..., a_n) \subset V$. Тогава по теоремата за линейна независимост, съществува вектор $a_{n+1} \in V \setminus l( a_1, ..., a_n )$ така че $a_1, ..., a_{n+1}$ са линейно независими. Обаче, от предишно твъдение знаем, че произволни $n+1$ вектора от $n$-мерно пространство са линейно зависими, противоречие!
+
+$2) \Rightarrow 1)$ и $3)$ Допускаме противното, тоест съществува $a_i \in l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$. Тогава $l(a_1, ..., a_{i}, ..., a_n) \subseteq l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$, но също $l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n) \subseteq l(a_1, ..., a_{i}, ..., a_n)$. Следо- вателно, $V = l(a_1, ..., a_n) = l(a_1, ..., a_{i-1}, a_{i+1}, ..., a_n)$, тоест базисът на $V$ може да бъде съставен от най-много $n-1$ вектора, противоречие с n-размерността на $V$! \epr
+
+Твърдим, че в $n$-мерно линейно пространство $V$ над поле $F$, линейно независимите вектори $a_1, ..., a_k$, $k \leq n$ могат да се допълнят до базис $a_1, ..., a_k, a_{k+1}, ..., a_n$ на $V$.
+
+\textbf{Доказателство:} Ако $k = n$, то $a_1, ..., a_k$ са базис на $V$ (от предишно твърдение, "$a_1, ..., a_n$ са линейно независими" е еквивалентно на "$a_1, ..., a_n$ е базис на $V$").
+
+Ако $k < n$, то избираме вектор $b_{k+1} \in V \setminus l(a_1, ..., a_k)$. От основната лема на линейната алгебра, $a_1, ..., a_{k+1}$ са линейно независими вектори. Ако $k+1=n$, то те са базис на $V$, иначе правим ананлогични разсъждения за $a_{k+2}$ и $a_1, ..., a_{k+2}$. След краен брой аналогични стъпки, получаваме $n$ на брой линейно независими вектора $a_1, ..., a_n$, които са базис на $V$ (съгласно случая $k = n$). \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.pdf b/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..636ca61
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.tex
new file mode 100644
index 0000000..e5e3e5a
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic2.tex
@@ -0,0 +1,108 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Матрица на линейно изображение на крайномерни пространства. Смяна на базиса. Трансформация на матрицата на линейно изображение при смяна на базиса. Подобни матрици.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+Твърдим, че за линейно изображение $\varphi : U \rightarrow V$, наредена $m$-торка $u = (u_1, ..., u_m), u_1, ..., u_m \in U$ и матрицата $A=(a_{ij})_{i=1j=1}^{m \;\;\; n} \in M_{m \times n}(F)$: $\quad \varphi(uA) = \varphi(u)A, \quad$ където
+\begin{align*}
+	& uA := (v_1, ..., v_n), \qquad v_j := (u_1, u_2, ..., u_m)\left( \begin{array}{c}
+		a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}
+	\end{array} \right) = \sum_{i=1}^m a_{ij}u_i, \\
+	& \varphi(uA) = \varphi(v_1, ..., v_n) := (\varphi(v_1), ..., \varphi(v_n)) \quad \text{ и } \quad \varphi(u) := (\varphi(u_1), ..., \varphi(u_m))
+\end{align*}
+
+\textbf{Доказателство:} Забелязваме, че
+\begin{align*}
+	\varphi(v_j) = \varphi\left( \sum_{i=1}^m a_{ij}u_j \right) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \varphi(u_i) = (\varphi(u_1), ..., \varphi(u_m)) \left( \begin{array}{c}
+		a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj}
+	\end{array} \right)
+\end{align*}
+\epr
+
+По определение, за линейно изображение на крайномерни пространства над поле $F$ $\varphi : U \rightarrow V$, базис $e = (e_1, ..., e_n)$ на $U$ и базис $f = (f_1, ..., f_n)$ на $V$, матрицата $A = (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n)) \in M_{m \times n}(F)$ се нарича матрица на $\varphi$ спрямо базиса $e$ и $f$. Еквивалентно $\varphi(e) = fA$ за $\varphi(e) := (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n))$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за линейно пространство $U$ над поле $F$, с линейно независими вектори $u_1, ..., u_m$, $u = (u_1, ..., u_m)$ и матрици $A=(a_{ij})_{i,j=1}^n, B = (b_{ij})_{i,j=1}^n \in M_{m \times n}(F)$:
+
+\hfill 1) $uA = \underbrace{(\zv, ..., \zv)}_n \implies A = \mathcal{O}_{m \times n}$ \hfill 2) $uA = uB \implies A = B$ \hfill\-
+
+(Матрична форма на линейната независимост на вектори)
+
+\textbf{Доказателство:} 1) След сравняването на $j$-тите компоненти ($j \in \{ 1, ..., n \}$) от двете страни, стигаме до:
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{ccc}
+		u_1 & \cdots & u_m
+	\end{array} \right) 
+	\left( \begin{array}{c} 
+		a_{1,j} \\
+		\vdots \\
+		a_{m,j}
+	\end{array} \right) = \zv \qquad \sum_{s=1}^m a_{s,j} u_s = \zv
+\end{align*}
+Обаче, понеже $u_1, ..., u_m$ са линейно независими, то $a_{s,j} = 0 \forall s \in \{ 1, ..., m \}$. Следователно $A = \mathcal{O}_{m \times n}$
+
+2) Щом $uA = uB$, то $u(A-B) = uA - uB = \underbrace{(\zv, ..., \zv)}_n \implies A - B = \mathcal{O}_{m \times n} \implies A = B$. \epr
+
+По определение, за $n$-мерно пространство $U$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi : U \rightarrow U$, матрицата $A = (\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n)) \in M_{n \times n}(F)$ се нарича матрица на $\varphi$ спрямо базиса $e$. Еквивалентно, $\varphi(e) = eA$.
+
+По определение, за линейно пространство $V$ над поле $F$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $f = (f_1, ..., f_n)$,
+\begin{align*}
+	\text{матрицата } T = (f_1, ..., f_j, ..., f_n) = \left( \begin{array}{cccccc}
+		t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1j} & \cdots & t_{1n} \\
+		t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2j} & \cdots & t_{2n} \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		t_{n1} & t_{n2} & \cdots & t_{nj} & \cdots & t_{nn}
+	\end{array} \right) \in M_{n \times n}(F),
+\end{align*}
+\begin{align*}
+	\text{където } f_1 = (e_1, ..., e_n) \left( \begin{array}{c}
+		t_{11} \\ t_{21} \\ \vdots \\ t_{n1}
+	\end{array}	\right), ..., f_n = (e_1, ..., e_n) \left( \begin{array}{c}
+		t_{1n} \\ t_{2n} \\ \vdots \\ t_{nn}
+	\end{array}	\right) \in V
+\end{align*}
+наричаме матрица на прехода от базиса $e$ към базиса $f$. Еквивалентно, $f = (f_1, ..., f_n) = (e_1, ..., e_n)T = eT$.
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и за матрица $T \in M_{n \times n}(F)$, $T$ е матрица на прехода от базиса $e$ към базиса $f = (f_1, ..., f_n) = eT \iff T$ е неособена.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Щом $f = eT$ е базис на $V$, то съществува матрица на прехода $S \in M_{n \times n}(F)$, за която $e = fS$. Тогава $eE_n = e = fS = (eT)S = e(TS) \implies E_n = TS$ (Лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори). Следователно $T$ е обратима и от там неособена матрица.
+
+$(\Leftarrow)$ Ако $\det (T) \neq 0$, то вектор-стълбовете на $T$ са линейно независими (предишно твърдение). Следователно векторите $f_1, ..., f_n$, образуващи вектор-стълбовете на $T$ с координати спрямо базиса $e_1, ..., e_n$, образуват базис на $V$ (твърдение от миналата тема). \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $f = (f_1, ..., f_n)$, матрица на прехода $T \in M_{n \times n}(F)$ от $e$ към $f$ и произволен вектор $v \in V$ с координати $x, y \in M_{n \times 1}(F)$ съответно спрямо двата базиса, е изпълнено равенството $x = Ty$.
+
+\textbf{Доказателство:} Щом $f = eT$ и $ex = v = fy$, то $ex = fy = (eT)y = e(Ty) \implies x = Ty$ (Лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори). \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $U$ с базиси $e = (e_1, ..., e_n)$ и $e' = eT$ (с матрица на прехода $T$), линейно пространство $V$ с базиси $f = (f_1, ..., f_n)$ и $f' = fS$ (с матрица на прехода $S$) и линейно изображение $\varphi: U \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базисите $e$ и $f$, матрицата $B$ на $\varphi$ спрямо базисите $e'$ и $f'$ изпълнява равенството $B = S^{-1}AT$.
+
+\textbf{Доказателство:} По определение, $\varphi(e) = fA$ и $\varphi(e') = f'B$, заместваме с $e' = eT$ и $f' = fS$ (определение на матрица на прехода между два базиса). След прилагане на лемата за матричен запис на линейността на изображение и използване на асоциативността на умножението на матрици, стигаме до $f(AT) = (fA)T = \varphi(e)T = \varphi(eT) = \varphi(e') = f'B = (fS)B = f(SB)$. От лемата за матрична форма на линейната независимост на вектори, $AT = SB$ и от минало твърдение, матрицата на прехода $S$ е обратима и $B = S^{-1}AT$. \epr
+
+По определение, квадратни матрици $A, B \in M_{n \times n}(F)$ с един и същ размер са подобни, ако съществува обратима матрица $T \in M_{n \times n}(F)$, за която $B = T^{-1}AT$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за $n$-мерно линейно пространство $V$ над полето $F$, квадратните матрици $A, B \in M_{n \times n}(F)$ са подобни $\iff$ съществува линеен оператор с тези матрици спрямо подходящи базиси.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Leftarrow)$ От предишното твърдение, за линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базис $e$, матрицата на $\varphi$ спрямо базис $e' = eT$ ще бъде $B = T^{-1}AT$ и следователно $A$ и $B$ са подобни.
+
+$(\Rightarrow)$ Нека $B = T^{-1}AT$, $e = (e_1, ..., e_n)$ да бъде базис на $V$ и $\varphi: V \rightarrow V$ е линеен оператор с матрица $A$ спрямо базиса $e$. $Т$ е неособена, следователно $e' = eT$ е базис на $V$ (минало твърдение). То тогава, матрицата на $\varphi$ спрямо базиса $e'$ е $T^{-1}AT = B$ (минало твърдение). \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.pdf b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..e4a8ea9
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex
new file mode 100644
index 0000000..5456d18
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Собствени вектори и инвариантни подпространства на линеен оператор.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, за квадратна матрица  $A \in M_{n \times n}(F)$ от ред $n$, характеристичният и полином е
+\begin{align*}
+	f_A(x) & = \det(A - xE_n) = \left| \begin{array}{llll}
+		a_{11} - x & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+		a_{21} & a_{22} - x & \cdots & a_{2n} \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - x
+	\end{array}	\right| = \\
+	& = (-1)^nx^n + (-1)^{n-1}(a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn})x^{n-1} + ... + \det (A)
+\end{align*}
+Също по определение, корените на $f_A(x) = 0$ се наричат характеристични корени на $A$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че матрици $A \in M_{n \times n}(F)$ и $B = T^{-1}AT \in M_{n \times n}(F)$ са подобни, ако характеристичните им полиноми съвпадат.
+
+\textbf{Доказателство:} Понеже $xE_n = x(T^{-1}E_nT) = T^{-1}(xE_n)T$, то $f_B(x) = \det(B - xE_n) = $ \newline $= \det\left( T^{-1}AT - T^{-1}(xE_n)T \right) = \det\left( T^{-1}(A-xE_n)T \right) = \det(T^{-1})\det(A-xE_n)\det(T) = $ \newline $= \det(T^{-1}T)f_A(x) = f_A(x)$. \epr
+
+По определение, за линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, собствен вектор е вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ за който $\varphi(v) = \lambda v$ за някое $\lambda \in F$. $\lambda$ е собствена стойност на $\varphi$ (отговаряща на собствения вектор $v$).
+
+\lskip
+
+Твърдим, че собствените стойности на линеен оператор в крайномерно пространство съвпадат с характеристичните корени на оператора.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме линейно пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A \in M_{n \times n}(F)$. За произволен вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ с координати $x \in M_{n \times 1}(F) \setminus \{ \mathcal{O}_{n \times 1} \}$ спрямо базиса $e$, е изпълнено $\varphi (v) = \varphi(ex) = \varphi(e)x = (eA)x = e(Ax)$ (матрична форма на линейността на изображение и определение за матрица на линеен оператор). То тогава, $v$ е собствен вектор на $\varphi$ със собствена стойност $\lambda \iff e(Ax) = \varphi(v) = \lambda v = \lambda(ex) = e(\lambda x)$ (свойства на умножение на матрици със скалар). Това е еквивалентно на $Ax = \lambda x = \lambda (E_n x) = (\lambda E_n) x$ и е в сила точно когато $(A - \lambda E_n)x = Ax - (\lambda E_n)x = \mathcal{O}_{n \times 1}$ има ненулево решение за $x$. Това е равносилно на $0 = \det (A - \lambda E_n) = f_A(\lambda)$. Тоест $\lambda$ е собствена стойност $\iff$ $\lambda$ е характеристичен корен. \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$, системата вектори, отговарящи на независимите собствени стойности на линеен оператор, е линейно независима.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще го докажем с индукция по броя $n$ на собствените стойности $\lambda_1, ..., \lambda_n$ на линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$.
+
+\textit{База:} Няма какво да се доказва
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Разглеждаме $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j}v_{i,j} = \zv_V$. От $\varphi(v_{i,j}) = \lambda_i v_{i,j}$ и $\varphi(\zv_V) = \zv_V$, получаваме $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} \lambda_i v_{i,j} = \zv_V$. Умножаваме първоначалното разглеждано по $-\lambda_n$ и прибавяме към второто: $\zv_V = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} (\lambda_i - \lambda_n) v_{i,j} = \sum\limits_{i=1}^{n-1} \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} (\lambda_i - \lambda_n) v_{i,j}$. От Индукционно предположение, $\{ v_{i,j} \mid 1 \leq i \leq n-1, 1 \leq j \leq k_i \}$ е линейно независима, тоест $\mu_{i,j}(\lambda_i - \lambda_n) = 0 \quad \forall i \in \{ 1, ..., n-1 \}, j \in \{ 1, ..., k_i \}$. Имайки се предвид, че за $\forall i \in \{ 1, ..., n-1 \}, j \in \{ 1, ..., k_i \}$: $\lambda_i - \lambda_n \neq 0$, то $\mu_{i,j} = 0$. Тогава $\sum\limits_{j=1}^{k_n} \mu_{n,j} v_{n,j} = \zv_V$. От линейната независимост на $v_{n,1}, ..., v_{n, k_n}$, то $\mu_{n,j} = 0 \forall j \in \{ 1, ..., k_n \}$. \epr
+
+По определение, спектърът на матрица е множеството от характеристични корени на матрицата. Тя има просто спектър, ако има толкова характеристични корена, колко е размера и.
+
+Също по определение, спектърът на линеен оператор в $n$-мерно пространство е множеството на характеристичните му корени. Линейният оператор има прост спектър, ако има точно $n$ на брой характеристични корени.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за линеен оператор с прост спектър съществува базис в който матрицата на оператора е диагонална. Еквивалентно съществува базис съставен от собствени вектори.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме пространство $V$ над поле $F$ с линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ и $n$ различни характеристични корена $\lambda_1, ..., \lambda_n \in F$. От минало твърдение, следва че $\lambda_1, ..., \lambda_n$ са собствени стойности. Съответстващите на тях собствени вектори $v_1, ..., v_n$ са линейно независими (миналото твърдение) и са базис на $V$ (твърдение). Имайки предвид, че $\varphi(v_i) = \lambda_iv_i = 0 \cdot v_1 + \cdots + 0 \cdot v_{i-1} + \lambda_i v_i + 0 \cdot v_{i+1} + \cdots + 0 \cdot v_n \quad \forall i \in \{1, ..., n\}$, матрицата на $\varphi$ в базиса $v_1, ..., v_n$ е диагонална (и диагоналните елементи са равни на собствените стойности). \epr
+
+Твърдим, че за матрица $A \in M_{n \times n}(F)$ с прост спектър, съществува $T \in M_{n \times n}(F)$, такава че $D = T^{-1}AT$ е дагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базиса $e$. Тогава $\varphi$ има прост спектър и от миналата теорема, съществува базис $v = (v_1, ..., v_n)$ в който матрицата на $\varphi$ е диагонална. Матрицата на прехода $T$ от базиса $e$ към базиса $v$ е обратима и $T^{-1}AT$ е диагонална. \epr
+
+По определение, за пространство $V$, нейно подпространство $W$ е инвариантно относно линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$, ако $\varphi(W) \subseteq W$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ над поле $F$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, множеството $U_{\lambda} = \{ v \in V \mid \varphi(v) = \lambda v \}$ е $\varphi$-инвариантно подпространство на $V$. Ако $\lambda$ е собствена стойност, то $U_{\lambda}$ е обединението на собствените вектори (отговарящи на $\lambda$). Иначе, ако $\lambda$ не е собствена стойност, то $U_{\lambda} = \{ \zv \}$.
+
+\textbf{Доказателство:} $U_{\lambda}$ е подпространство на $V$, защото за произволни $u_1, u_2 \in U_{\lambda}, \; \mu \in F$ е изпълнено $u_1 + u_2, \mu u_1 \in U_{\lambda}$ от $\varphi(u_1 + u_2) = \varphi(u_1) + \varphi(u_2) = \lambda u_1 + \lambda u_2 = \lambda(u_1 + u_2)$ и $\varphi(\mu u_1) = \mu \varphi(u_1) = \mu (\lambda u_1) = (\mu \lambda) u_1  = (\lambda \mu) u_1 = \lambda (\mu u_1)$. За произволен вектор е изпълнено $\varphi (u) = \lambda u \in U_{\lambda}$, следователно $U_{\lambda}$ е $\varphi$-инвариантно. \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, неин ненулев вектор $v$ поражда 1-мерно $\varphi$-инвариантно подпространство $l(v)$ на $V$ тогава и само тогава, когато $v$ е собствен вектор на $\varphi$.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Ненулевият вектор $v$ се изобразява в $\varphi(v) \in l(v)$, така че $\varphi(v) = \lambda v$ за някое $\lambda \in F$ и следователно $v$ е собствен вектор (отговарящ на $\lambda$).
+
+$(\Leftarrow)$ Произволен вектор $\mu v \in l(v)$ се изобразява в $\varphi(\mu v) = \mu \varphi(v) = \mu(\lambda v) = (\mu \lambda) v \in l(v)$ и 1-мерното пространство на $l(v)$ е $\varphi$-инвариантно. \epr
+
+Без доказателство, твърдим че за непостоянен полином $f(x) \in \mathbb{C}[x] \setminus \mathbb{C}$, всички корени са комплексни числа. (Основна Теорема на алгебрата)
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.pdf b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..183beea
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex
new file mode 100644
index 0000000..71a2259
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Евклидови и унитарни пространства. Ортогонализация по метода на Грам-Шмид.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, за линейно пространство $V$ над поле $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, скаларно произведение е изображение $\langle , \rangle : V \times V \rightarrow F$ със свойствата $\langle v,u \rangle = \overline{\langle u,v \rangle} \forall u,v \in V$, $\langle u_1 + u_2, v \rangle = \langle u_1, v \rangle + \langle u_2, v \rangle \forall u_1, u_2, v \in V$, $\langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u,v \rangle \forall u,v \in V, \forall \lambda \in F$ и $\langle u, v \rangle = 0 \in F, \; \langle u, v \rangle \in \mathbb{R}^{\geq 0} \forall v \in V$ точно когато $v = \zv_{V} \in V$.
+
+По определение, линейно пространство над полето на реалните числа със скаларно произведение се нарича евклидово. Също, линейно пространство над полето на комплексните числа със скаларно произведение се нарича унитарно.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, следните свойства са в сила:
+
+1) $\langle u, v_1 + v_2 \rangle = \langle u, v_1 \rangle + \langle u, v_2 \rangle \quad \forall u, v_1, v_2 \in V$ \hfill 2) $\langle u, \lambda u \rangle = \overline{\lambda}\langle u, v \rangle \quad \forall u, v \in V, \forall \lambda \in F$
+
+3) $\langle \zv_V , v \rangle = \langle v, \zv_V \rangle = 0 \quad \forall v \in V, \zv_V \in V$
+
+4) $\left\langle \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i u_i, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j} \langle u_i, v_j \rangle \quad \forall u_i, u_j \in V, \forall \lambda_i, \mu_j \in F$
+
+\textbf{Доказателство:} 1) $\langle u, v_1 + v_2 \rangle = \overline{\langle v_1 + v_2, u \rangle} = \overline{\langle v_1, u \rangle + \langle v_2, u \rangle} =  \overline{\langle v_1, u \rangle} + \overline{\langle v_2, u \rangle} = \langle u,v_1 \rangle + \langle u,v_2 \rangle$ за произволни $u, v_1, v_2 \in V$
+
+2) $\langle u, \lambda v \rangle = \overline{\langle \lambda v, u \rangle} = \overline{\lambda \langle v, u \rangle } = \overline{\lambda} \: \overline{\langle v, u \rangle} = \overline{\lambda} \langle u, v \rangle$ за произволни $u, v \in V, \lambda \in F$
+
+3) За произволен вектор $u \in V$ е в сила $0u = \zv_V$, следователно $\langle \zv_V, v \rangle = \langle 0u, v \rangle = 0 \langle u, v \rangle = 0$ и тогава $\langle v, \zv_V \rangle = \langle v, 0u \rangle = \overline{0} \langle v, u \rangle = 0 \langle v, u \rangle = 0$.
+
+4) От свойствата в определението за скаларно произведение и от вече доказаните свойства,
+\begin{align*}
+	& \left\langle \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i u_i, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \left\langle \lambda_1u_1, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_mu_m, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \\
+	& = \left\langle \lambda_1u_1, \mu_1 v_1 \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_1u_1, \mu_n v_n \right\rangle + \left\langle \lambda_2u_2, \mu_1 v_1 \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_mu_m, \mu_n v_n \right\rangle = \\
+	& = \lambda_1 \overline{\mu_1} \left\langle u_1, v_1 \right\rangle + \cdots + \lambda_1 \overline{\mu_n} \left\langle u_1, v_n \right\rangle + \lambda_2 \overline{\mu_1} \left\langle u_2, v_1 \right\rangle + \cdots + \lambda_m \overline{\mu_n} \left\langle u_m, v_n \right\rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j} \langle u_i, v_j \rangle
+\end{align*}
+\epr
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$, негови вектори $v_1, ..., v_n$ се наричат ортогонални ако $\langle v_i, v_j \rangle = 0 \quad \forall i, j \in \{1, ..., n \}, i \neq j$.
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство, произволни ненулеви ортогонални вектори са линейно независими.
+
+\textbf{Доказателство:} Нека пространството да е $V$ над поле $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, $v_1, ..., v_n$ са произволните ненулеви ортогонални вектори и $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_i v_i + \cdots + \lambda_n v_n = \zv_V, \lambda_1, ..., \lambda_n \in F$. $\langle \zv_V, v_i \rangle = 0$ от вече доказано свойство и $\langle \zv_V, v_i \rangle = \langle \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_i v_i + \cdots + \lambda_n v_n, v_i \rangle = \lambda_i \langle v_i, v_i \rangle$ (понеже от дефиницията за ортогонални вектори $\langle v_j, v_i \rangle = 0 \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}, i \neq j$). $\langle v_i, v_i \rangle = ||v_i||^2 > 0$, то $\lambda_i = 0 \forall i \in \{ 1, ..., n \}$ и $v_1, ..., v_n$ са линейно независими. \epr
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$ и за негов вектор $v$, дължина на $v$ се нарича $||v|| := \sqrt{\langle v, v \rangle}^{\geq 0} \in \mathbb{R}^{\geq 0}, \langle v, \quad v \rangle \in \mathbb{R}^{\geq 0}$.
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$, негови вектори $v_1, ..., v_n$ се наричат ортонормирани, ако са ортогонални и $||v_i|| = 1, \; \forall i \in \{ 1, ..., n \}$.
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, базисът му $e = (e_1, ..., e_n)$ е ортонормиран тогава и само тогава, когато $\langle ex, ey \rangle = \sum\limits_{i=1}^n x_i \overline{y_i} = x^t \overline{y}$ за произволни $ex, ey \in V$ с координати $x, y \in M_{n \times 1}(F)$.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Щом базиса е ортонормиран, то $\langle ex, ey \rangle = \left\langle \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i, \sum_{j=1}^n u_j e_j \right\rangle =$ \newline $= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n x_i \overline{y_i} \langle e_i, e_j \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n x_i \overline{y_i} = ( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_n \end{array}) \left( \begin{array}{c} \overline{y_1} \\ \vdots \\ \overline{y_n} \end{array} \right)$, където $\langle e_i, e_j \rangle = \begin{cases} 0 \text{ за } 1 \leq i \neq j \leq n \\ 1 \text{ за } 1 \leq i = j \leq n \end{cases}$
+
+$(\Leftarrow)$ От предположението, следва че
+\begin{align*}
+	\langle e_i, e_j \rangle = \left( \begin{array}{ccccccc}
+		0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0
+	\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
+		0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+	\end{array} \right) =
+	\begin{aligned}
+		& \, 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 \\
+		+ & \, 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 = 0
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+и $\langle ej, e_i \rangle = \overline{\langle ei, e_j \rangle} = \overline{0} = 0$
+. Следователно базисът е ортонормиран. \epr
+
+Твърдим, че съществува алгоритъм (ортогонализация по метода Грам-Шмид), който при евклидово или унитарно пространство $V$ над $F$, за линейно независими вектори $a_1, ..., a_n \in V$ построява ортогонални вектори $b_1, ..., b_n : l(a_1, ..., a_i) = l(b_1, ..., b_i) \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$. Също $b_m = a_m \quad \forall a_m$ ортогонален.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще го докажем с индукция по $i$.
+
+\textit{База:} $n = 1$ Избираме $b_1 = a_1$.
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Нека $a_1, ..., a_i \in V$ да са линейно независими. То тогава $a_1, ..., a_{n-1}$ също са линейно независими и по Индукционно предположение съществуват ненулеви $b_1, ..., b_{i-1} \in V : l(a_1, ..., a_{i-1}) = l(b_1, ..., b_{i-1})$. Търсим $b_i = a_i + \sum\limits_{j=1}^{i-1} \lambda_{i,j} b_j$, където $b_i$ е ортогонален на $b_1, ..., b_{i-1}$. Тогава трябва да е изпълнено $0 = \langle b_i, b_j \rangle = \langle a_i, b_j \rangle + \langle \lambda_{i,j}b_j, b_j \rangle = \langle a_i, b_j \rangle + \lambda_{i,j} \langle b_j, b_j \rangle \quad \forall j \in \{ 1, ..., i-1 \}$. Допускаме, че $b_j \neq \zv$ и избираме $\lambda_{i,j} = -\frac{\langle a_i, b_j \rangle}{\langle b_j, b_j \rangle}$ (скаларните квадрати са неотрицателни) и $b_1, ..., b_i$ са ортогонални.
+
+Ако допуснем, че $b_j = \zv$, то $a_i = \sum\limits_{j=1}^{i-1}(-\lambda_{i,j})b_j \in l(b_1, ..., b_{i-1}) = l(a_1, ..., a_{i-1})$, противоречи на линейната независимост на $a_1, ..., a_i$.
+
+Проверяваме, че $l(a_1, .., a_i) = l(b_1, ..., b_i)$: $l(a_1, ..., a_i) = l(a_1, ..., a_{i-1}) + l(a_i) = l(b_1, ..., b_{i-1}) + l(a_i) = l(b_1, ..., b_{i-1}, a_i)$. Забелязваме, че $b_i \in l(b_1, .., b_{i-1}, a_1)$ и $a_i = b_i - \sum\limits_{j=1}^{i-1} \lambda_{i,j} b_j \in l(b_1, .., b_i)$. Ако $a_1, .., a_i$ са ортогонални, то и $a_1, ..., a_{i-1}$ също са ортогонални и от Индукционно предположение $b_m = a_m \quad \forall m \in \{ 1, ..., i-1 \}$. Тогава за търсеното $b_i$ получаваме $\lambda_{i,j} = -\frac{\langle a_i, b_j \rangle}{\langle b_j, b_j \rangle} = -\frac{\langle a_i, a_j \rangle}{\langle a_j, a_j \rangle} = 0$, от където $b_i = a_i$. \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, с линейно независими вектори $a_1, ..., a_n$ и вектор $a_{n+1} \in l(a_1, ..., a_n)$, прилагането на ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху $a_1, ..., a_{n+1}$ връща $b_{n+1} = \zv$.
+
+\textbf{Доказателство:} От ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху $a_1, ..., a_n$ получаваме ненулеви ортогонални вектори $b_1, ..., b_n$, за които $l(a_1, ..., a_n) = l(b_1, ..., b_n)$. Търсим $b_{n+1} = a_{n+1} + \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_{n+1,j}b_j$. Понеже $a_{n+1} \in l(a_1, ..., a_n) = l(b_1, ..., b_n)$, то съществуват $\mu_j \in F$, такива че $a_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^n \mu_j b_j$. Тоест $b_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^n \mu_j b_j + \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_{n+1,j}b_j = \sum\limits_{j = 1}^n (\mu_j + \lambda_{n+1,j})b_j$. От ортогоналността на $b_{n+1} \implies 0 = \langle b_{n+1}, b_j \rangle = (\mu_j + \lambda_{n+1,j}) \langle b_j, b_j \rangle$. Следователно $\mu_j + \lambda_{n+1} = 0 \quad \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ и $b_{n+1} = \zv$. \epr
+
+Твърдим, че за $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ с ортонормирана система вектри $e_1, ..., e_k$, ако $k \leq n$, то $e_1, ..., e_k$ може да се допълни до ортонормиран базис $e_1, ..., e_k, ..., e_n$.
+
+\textbf{Доказателство:} $e_1, ..., e_k$ са линейно независими (лема) и можем да ги допълним до базис \newline $e_1, ..., a_{k+1}, ..., a_k$ (твърдение). От ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху този базис получаваме ортогонални вектори $b_1, ..., b_n$, за които $b_j = e_j \quad \forall j \in \{ 1, ..., k \}$, които също са базис (теорема). Полагаме $||b_i|| := \sqrt{\langle b_i, b_i \rangle}^{\geq 0}, e_i := \frac{b_i}{||b_i||} \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$ и получената система вектори $e_1, ..., e_n$ е линейно независима (лема) и ортонормиран базис (теорема). \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.pdf b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.pdf
new file mode 100644
index 0000000..29913c1
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex
new file mode 100644
index 0000000..ac3859d
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic5.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Симетрични и ермитови матрици и оператори.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, матрица $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ е симетрична ако $\overline{A}^t = A$. Също, матрица $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ е ермитова ако $\overline{A}^t = A$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че множествата $M_{n \times n}^{sym} (\mathbb{R}) = \{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \mid A^t = A \}$ и $M_{n \times n}^{Herm} (\mathbb{C}) = \{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) \mid \overline{A}^t = A \}$ са линейни пространства над полето на реалните числа.
+
+\textbf{Доказателство:} За произволни $M, N \in M_{m \times n}(\mathbb{C})$: $\overline{(M+N)}_{i,j} = \overline{(M+N)_{i,j}} = \overline{(M_{i,j} + N_{i,j})} = \overline{M_{i,j}} + \overline{N_{i,j}} = \overline{(M)}_{i,j} + \overline{(N)}_{i,j} = (\overline{M} + \overline{N})_{i,j} \quad \forall i \in \{ 1, ..., m \}, \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ (защото $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ за произволни $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$). \epr
+
+За произволни $M \in M_{m \times n}(\mathbb{C})$ и $z \in \mathbb{C}$: $\overline{(zM)}_{i,j} = \overline{(zM)_{i,j}} = \overline{(zM_{i,j})} = \overline{z} \cdot \overline{(M_{i,j})} = \overline{z} \cdot \overline{(M)}_{i,j} = (\overline{z} \cdot \overline{M})_{i,j} \quad \forall i \in \{ 1, ..., m \}, \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ (защото $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \; \overline{z_2}$ за произволни $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$).
+
+Следователно, ако $\overline{A}^t = A$ и $\overline{B}^t = B$, то $\overline{(A+B)}^t = \overline{A}^t + \overline{B}^t = A + B$ и за произволно $\lambda \in \mathbb{R}$ $\overline{(\lambda A)}^t = \overline{\lambda} \cdot \overline{A}^t = \lambda A$. То тогава $A+B$ и $\lambda A$ са симетрични/ермитови матрици и множеството на симетричните/ермитовите матрици е линейно пространство над $\mathbb{R}$. \epr
+
+Твърдим, че за обратима симетрична/ермитова матрица, обратната \`и матрица също е \newline симетрична/ермитова.
+
+\textbf{Доказателство:} По определение, $AA^{-1} = E_n$, то тогава $E_n = \overline{E_n}^t = \overline{(A A^{-1})}^t = (\overline{A} \cdot \overline{A^{-1}} )^t = \overline{A^{-1}}^t \cdot \overline{A}^t = \overline{A^{-1}}^t \cdot A$ (показахме в доказателството на минала теорема, че $\overline{MN} = \overline{M} \cdot \overline{N}, \quad M, N \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$). Имайки предвид, че $Z = A^{-1}$ е единственото решение на $ZA = E_n$ (по определение), то $\overline{A^{-1}}^t = A^{-1}$ и $A^{-1}$ е обратима. \epr
+
+Твърдим, че за симетрични $A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ или ермитови $A,B \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ матрици, при които $AB = BA$, $AB$ е симетрична/ермитова матрица.
+
+\textbf{Доказателство:} $\overline{(AB)}^t = (\overline{A} \cdot \overline{B})^t = \overline{B}^t \cdot \overline{A}^t = BA = AB$ \epr
+
+По определение, за евклидово (или унитарно) пространство $V$, линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$ се нарича симетричен (или ермитов) ако $\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle, \forall u, v \in V$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$ с линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$, следните условия са еквивалентни:
+
+\noindent
+1) $\varphi$ е симетричен/ермитов оператор
+
+\noindent
+2) за произволен базис $a_1, ..., a_n$ на $V$ е изпълнено $\langle \varphi(a_i), a_j \rangle = \langle a_i, \varphi(a_j) \rangle \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$
+
+\noindent
+3) за произволен ортонормиран базис $b_1, ..., b_n$ на $V$ е изпълнено $\langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$
+
+\noindent
+4) спрямо ортонормиран базис $b_1, ..., b_n$ на $V$, матрицата на $\varphi$ е симетрична/ермитова
+
+\textbf{Доказателство:} $1) \Rightarrow 2) \Rightarrow 3)$ Очевидно
+
+$3) \Leftrightarrow 4)$ Нека $A = (A_{ij})_{i,j=1}^n \in M_{n \times n}(F)$ да бъде матрицата на $\varphi$ спрямо ортонормирания базис $b_1, ..., b_n$. Координатите на $\varphi(b_i)$ са разположени в $i$-тия стълб, тогава $\langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \left\langle \sum\limits_{s=1}^n A_{si}b_s \; , \; b_j \right\rangle = \sum\limits_{s=1}^n A_{si} \langle b_s , b_j \rangle = A_{ji} \langle b_j , b_j \rangle = A_{ji}$ и $\langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \left\langle b_i \; , \; \sum\limits_{s=1}^n A_{sj}b_s \right\rangle = \sum\limits_{s=1}^n \overline{A_{sj}} \langle b_i , b_s \rangle = \overline{A_{ij}} \langle b_i , b_i \rangle = \overline{A_{ij}}$. Тоест 3) е еквивалентно на $A_{ij} = \langle \varphi(b_i), b_j \rangle = \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \overline{A_{ij}} \quad \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}$. Имайки предвид, че $(\overline{A}^t)_{ji} = (\overline{A})_ij = \overline{A_{ij}}$, то $A_{ji} = (\overline{A}^t)_{ji}$, което се свежда до $A = \overline{A}^t$.
+
+$3) \Rightarrow 1)$ По предположение, за произволни вектори $u = \sum\limits_{i=1}^n x_i b_i \in V$ и $v = \sum\limits_{j=1}^n y_j b_j \in V$ е изпълнено
+\begin{align*}
+	\langle \varphi(u), v \rangle & = \left\langle \varphi \left( \sum_{i=1}^n x_i b_i \right), \sum_{j=1}^n y_j b_j \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i \varphi(b_i), \sum_{j=1}^n y_j b_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i \overline{y_j} \langle \varphi(b_i), b_j \rangle \\
+	& = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i \overline{y_j} \langle b_i, \varphi(b_j) \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i b_i, \sum_{j=1}^n y_j \varphi(b_j) \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n x_i b_i, \varphi \left(  \sum_{j=1}^n y_j b_j \right) \right\rangle = \left\langle u, \varphi(v) \right\rangle
+\end{align*}
+Следователно $\varphi$ е симетричен/ермитов оператор. \epr
+
+Твърдим, че при ненулево крайномерно евклидово/унитарно пространство $V$, за симетричен/ермитов оператор $\varphi: V \rightarrow V$, характеристичните му корени са реални числа.
+
+\textbf{Доказателство:} Първо ще проверим, че е вярно за произволна собствена стойност. Избираме произволен собствен вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ с произволна собствена стойност $\lambda \in \mathbb{C}$. Тогава $\overline{\lambda}||v||^2  = \langle v, \lambda v \rangle = \langle v, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(v), v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \lambda ||v||^2$. Следователно $(\overline{\lambda} - \lambda)||v||^2 = \overline{\lambda} ||v||^2 - \lambda ||v||^2 = 0$. Понеже $||v||^2 \in \mathbb{R}^{>0}$, то $\overline{\lambda} = \lambda \in \mathbb{R}$.
+
+Разглеждаме ермитов оператор $\varphi: V \rightarrow V$. Сега ще покажем, че е вярно за всички собствени стойности. По определение, $f_{\varphi}(x) \in \mathbb{C}[x] \setminus \mathbb{C}$ има комплексни коефициенти и съгласно основната теорема на алгебрата, всички корени на $f_{\varphi}(x) = 0$ са комплексни числа. Нека $A$ да бъде матрицата на $\varphi$ спрямо произволен ортонормиран базис. Всички характеристични корени на $\varphi$ са собствени стойности (твърдение) и от първата стъпка, следва че корените са реални числа.
+
+Всяка матрица на ермитов оператор се реализира спрямо ортонормиран базис. Тоест характеристичните корени на $\varphi$ съвпадат с тези на $A$ и характеристичните корени на ермитова матрица са реални числа.
+
+Всяка симетрична матрица е и ермитова, понеже $M_{n \times n}^{sym}(\mathbb{R}) \subset M_{n \times n}^{Herm}(\mathbb{C})$ и затова характеристичните корени на симетрични матрици са реални числа. \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ със симетричен или ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$, собствените му вектори са ортогонални помежду си си.
+
+\textbf{Доказателство:} Прилагаме определението за симетричност/ермитовост на $\varphi$ към собствените вектори $u, v \in V \setminus \{ \zv \}$: $\mu \langle u, v \rangle = \overline{\mu} \langle u, v \rangle = \langle u, \mu v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(u), v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$. Следователно $(\lambda - \mu)\langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle - \mu \langle u, v \rangle = 0$, където $\lambda \neq \mu \implies \langle u, v \rangle = 0$ и $u, v$ са ортогонални (помежду си). \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$, симетричен/ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$ и $\varphi$-инвариантно подпространство $U \subset V$, ортогоналното допълнение $U^{\bot}$ е $\varphi$-инвариантно.
+
+\textbf{Доказателство:} За произволни $u \in U, v \in U^{\bot}$: $\langle u, \varphi(v) \rangle = \langle \varphi(u), v \rangle = 0$, имайки предвид че $\varphi(u) \in U$. Следователно $\varphi(v) \in U^{\bot}$ и $U^{\bot}$ е $\varphi$ инвариантно. \epr
+
+Твърдим, че в $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ и произволен симетричен/ермитов оператор $\varphi : V \rightarrow V$ съществува ортонормиран базис $e = (e_1, ..., e_n)$ на $V$, за който матрицата на $\varphi$ е диагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще докажем твърдение с индукция по $n = \dim V$.
+
+\textit{База:} $n = 1$ Няма какво да се доказва
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Ако $\varphi$ е ермитов оператор, то съществува собствен вектор по теорема. Ако $\varphi$ е симетричен оператор, то всички характеристични корени са реални числа и тогава са и собствени стойности, следователно съществува собствен вектор отговарящ на някоя собствена стойност.
+
+Нека този вектор да е $v_1 \in V \setminus \{ \zv \}$ със собствена стойност $\lambda_1 \in \mathbb{R}$. $e_1 = \frac{v_1}{||v_1||} \in l(v_1)$ и забелязваме, че $U := l(e_1) = l(v_1)$. От индукционното предположение, съществува ортонормиран базис $e_2, ..., e_n$ на $U^{\bot}$ за който матрицата на $\varphi: U^{\bot} \rightarrow U^{\bot}$ е диагонална. Тогава $e_1, ..., e_n$ е ортонормиран базис на $V = U \oplus U^{\bot}$ и матрицата на $\varphi : V = U \oplus U^{\bot} \rightarrow V = U \oplus U^{\bot}$ е диагонална. \epr
+
+Твърдим, че за симетрична или ермитова матрица $A$ съществува ортогонална матрица $T$, такава че $D = T^{-1}AT = \overline{T}^tAT$ е диагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо ортонормиран базис $f$ на $n$-мерно евклидово/унитарно пространство $V$. От миналото твърдение знаем, че операторът на $\varphi$ е симетричен/ермитов и съществува ортонормиран базис $e$ за който матрицата $D$ на $\varphi$ е диагонална. Матрицата на прехода $T$ от $f$ към $e$ е ортогонална/унитарна и $D = T^{-1}AT = \overline{T}^tAT$. \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/topics-style.sty b/Year 1/Algebra/Topics/topics-style.sty
new file mode 100644
index 0000000..89afe5b
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/topics-style.sty
@@ -0,0 +1,27 @@
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+
+\let\oldforall\forall
+\renewcommand{\forall}{\; \oldforall}
+
+\let\oldexist\exists
+\renewcommand{\exists}{\; \oldexist}
+
+\newcommand{\lskip}{\vspace{\baselineskip}} % Large skip
+\newcommand{\epr}{\hfill$\square$\newline\lskip} % End Proof
+
+\DeclareMathOperator{\zv}{\overrightarrow{\mathcal{O}}} % Zero vector
+\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
\ No newline at end of file