Added algebra topics from session exam

1 files changed, 100 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex
new file mode 100644
index 0000000..71a2259
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic4.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Евклидови и унитарни пространства. Ортогонализация по метода на Грам-Шмид.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, за линейно пространство $V$ над поле $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, скаларно произведение е изображение $\langle , \rangle : V \times V \rightarrow F$ със свойствата $\langle v,u \rangle = \overline{\langle u,v \rangle} \forall u,v \in V$, $\langle u_1 + u_2, v \rangle = \langle u_1, v \rangle + \langle u_2, v \rangle \forall u_1, u_2, v \in V$, $\langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u,v \rangle \forall u,v \in V, \forall \lambda \in F$ и $\langle u, v \rangle = 0 \in F, \; \langle u, v \rangle \in \mathbb{R}^{\geq 0} \forall v \in V$ точно когато $v = \zv_{V} \in V$.
+
+По определение, линейно пространство над полето на реалните числа със скаларно произведение се нарича евклидово. Също, линейно пространство над полето на комплексните числа със скаларно произведение се нарича унитарно.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, следните свойства са в сила:
+
+1) $\langle u, v_1 + v_2 \rangle = \langle u, v_1 \rangle + \langle u, v_2 \rangle \quad \forall u, v_1, v_2 \in V$ \hfill 2) $\langle u, \lambda u \rangle = \overline{\lambda}\langle u, v \rangle \quad \forall u, v \in V, \forall \lambda \in F$
+
+3) $\langle \zv_V , v \rangle = \langle v, \zv_V \rangle = 0 \quad \forall v \in V, \zv_V \in V$
+
+4) $\left\langle \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i u_i, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j} \langle u_i, v_j \rangle \quad \forall u_i, u_j \in V, \forall \lambda_i, \mu_j \in F$
+
+\textbf{Доказателство:} 1) $\langle u, v_1 + v_2 \rangle = \overline{\langle v_1 + v_2, u \rangle} = \overline{\langle v_1, u \rangle + \langle v_2, u \rangle} =  \overline{\langle v_1, u \rangle} + \overline{\langle v_2, u \rangle} = \langle u,v_1 \rangle + \langle u,v_2 \rangle$ за произволни $u, v_1, v_2 \in V$
+
+2) $\langle u, \lambda v \rangle = \overline{\langle \lambda v, u \rangle} = \overline{\lambda \langle v, u \rangle } = \overline{\lambda} \: \overline{\langle v, u \rangle} = \overline{\lambda} \langle u, v \rangle$ за произволни $u, v \in V, \lambda \in F$
+
+3) За произволен вектор $u \in V$ е в сила $0u = \zv_V$, следователно $\langle \zv_V, v \rangle = \langle 0u, v \rangle = 0 \langle u, v \rangle = 0$ и тогава $\langle v, \zv_V \rangle = \langle v, 0u \rangle = \overline{0} \langle v, u \rangle = 0 \langle v, u \rangle = 0$.
+
+4) От свойствата в определението за скаларно произведение и от вече доказаните свойства,
+\begin{align*}
+	& \left\langle \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i u_i, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \left\langle \lambda_1u_1, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_mu_m, \sum\limits_{j=1}^n \mu_j v_j \right\rangle = \\
+	& = \left\langle \lambda_1u_1, \mu_1 v_1 \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_1u_1, \mu_n v_n \right\rangle + \left\langle \lambda_2u_2, \mu_1 v_1 \right\rangle + \cdots + \left\langle \lambda_mu_m, \mu_n v_n \right\rangle = \\
+	& = \lambda_1 \overline{\mu_1} \left\langle u_1, v_1 \right\rangle + \cdots + \lambda_1 \overline{\mu_n} \left\langle u_1, v_n \right\rangle + \lambda_2 \overline{\mu_1} \left\langle u_2, v_1 \right\rangle + \cdots + \lambda_m \overline{\mu_n} \left\langle u_m, v_n \right\rangle = \sum_{i=1}^m \sum_{j = 1}^n \lambda_i \overline{\mu_j} \langle u_i, v_j \rangle
+\end{align*}
+\epr
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$, негови вектори $v_1, ..., v_n$ се наричат ортогонални ако $\langle v_i, v_j \rangle = 0 \quad \forall i, j \in \{1, ..., n \}, i \neq j$.
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство, произволни ненулеви ортогонални вектори са линейно независими.
+
+\textbf{Доказателство:} Нека пространството да е $V$ над поле $F = \mathbb{R}$ или $F = \mathbb{C}$, $v_1, ..., v_n$ са произволните ненулеви ортогонални вектори и $\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_i v_i + \cdots + \lambda_n v_n = \zv_V, \lambda_1, ..., \lambda_n \in F$. $\langle \zv_V, v_i \rangle = 0$ от вече доказано свойство и $\langle \zv_V, v_i \rangle = \langle \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_i v_i + \cdots + \lambda_n v_n, v_i \rangle = \lambda_i \langle v_i, v_i \rangle$ (понеже от дефиницията за ортогонални вектори $\langle v_j, v_i \rangle = 0 \forall i, j \in \{ 1, ..., n \}, i \neq j$). $\langle v_i, v_i \rangle = ||v_i||^2 > 0$, то $\lambda_i = 0 \forall i \in \{ 1, ..., n \}$ и $v_1, ..., v_n$ са линейно независими. \epr
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$ и за негов вектор $v$, дължина на $v$ се нарича $||v|| := \sqrt{\langle v, v \rangle}^{\geq 0} \in \mathbb{R}^{\geq 0}, \langle v, \quad v \rangle \in \mathbb{R}^{\geq 0}$.
+
+По определение, за евклидово или унитарно пространство $V$, негови вектори $v_1, ..., v_n$ се наричат ортонормирани, ако са ортогонални и $||v_i|| = 1, \; \forall i \in \{ 1, ..., n \}$.
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, базисът му $e = (e_1, ..., e_n)$ е ортонормиран тогава и само тогава, когато $\langle ex, ey \rangle = \sum\limits_{i=1}^n x_i \overline{y_i} = x^t \overline{y}$ за произволни $ex, ey \in V$ с координати $x, y \in M_{n \times 1}(F)$.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Щом базиса е ортонормиран, то $\langle ex, ey \rangle = \left\langle \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i, \sum_{j=1}^n u_j e_j \right\rangle =$ \newline $= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n x_i \overline{y_i} \langle e_i, e_j \rangle = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n x_i \overline{y_i} = ( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_n \end{array}) \left( \begin{array}{c} \overline{y_1} \\ \vdots \\ \overline{y_n} \end{array} \right)$, където $\langle e_i, e_j \rangle = \begin{cases} 0 \text{ за } 1 \leq i \neq j \leq n \\ 1 \text{ за } 1 \leq i = j \leq n \end{cases}$
+
+$(\Leftarrow)$ От предположението, следва че
+\begin{align*}
+	\langle e_i, e_j \rangle = \left( \begin{array}{ccccccc}
+		0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0
+	\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
+		0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+	\end{array} \right) =
+	\begin{aligned}
+		& \, 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 \\
+		+ & \, 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + \cdots + 0 \cdot 0 = 0
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+и $\langle ej, e_i \rangle = \overline{\langle ei, e_j \rangle} = \overline{0} = 0$
+. Следователно базисът е ортонормиран. \epr
+
+Твърдим, че съществува алгоритъм (ортогонализация по метода Грам-Шмид), който при евклидово или унитарно пространство $V$ над $F$, за линейно независими вектори $a_1, ..., a_n \in V$ построява ортогонални вектори $b_1, ..., b_n : l(a_1, ..., a_i) = l(b_1, ..., b_i) \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$. Също $b_m = a_m \quad \forall a_m$ ортогонален.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще го докажем с индукция по $i$.
+
+\textit{База:} $n = 1$ Избираме $b_1 = a_1$.
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Нека $a_1, ..., a_i \in V$ да са линейно независими. То тогава $a_1, ..., a_{n-1}$ също са линейно независими и по Индукционно предположение съществуват ненулеви $b_1, ..., b_{i-1} \in V : l(a_1, ..., a_{i-1}) = l(b_1, ..., b_{i-1})$. Търсим $b_i = a_i + \sum\limits_{j=1}^{i-1} \lambda_{i,j} b_j$, където $b_i$ е ортогонален на $b_1, ..., b_{i-1}$. Тогава трябва да е изпълнено $0 = \langle b_i, b_j \rangle = \langle a_i, b_j \rangle + \langle \lambda_{i,j}b_j, b_j \rangle = \langle a_i, b_j \rangle + \lambda_{i,j} \langle b_j, b_j \rangle \quad \forall j \in \{ 1, ..., i-1 \}$. Допускаме, че $b_j \neq \zv$ и избираме $\lambda_{i,j} = -\frac{\langle a_i, b_j \rangle}{\langle b_j, b_j \rangle}$ (скаларните квадрати са неотрицателни) и $b_1, ..., b_i$ са ортогонални.
+
+Ако допуснем, че $b_j = \zv$, то $a_i = \sum\limits_{j=1}^{i-1}(-\lambda_{i,j})b_j \in l(b_1, ..., b_{i-1}) = l(a_1, ..., a_{i-1})$, противоречи на линейната независимост на $a_1, ..., a_i$.
+
+Проверяваме, че $l(a_1, .., a_i) = l(b_1, ..., b_i)$: $l(a_1, ..., a_i) = l(a_1, ..., a_{i-1}) + l(a_i) = l(b_1, ..., b_{i-1}) + l(a_i) = l(b_1, ..., b_{i-1}, a_i)$. Забелязваме, че $b_i \in l(b_1, .., b_{i-1}, a_1)$ и $a_i = b_i - \sum\limits_{j=1}^{i-1} \lambda_{i,j} b_j \in l(b_1, .., b_i)$. Ако $a_1, .., a_i$ са ортогонални, то и $a_1, ..., a_{i-1}$ също са ортогонални и от Индукционно предположение $b_m = a_m \quad \forall m \in \{ 1, ..., i-1 \}$. Тогава за търсеното $b_i$ получаваме $\lambda_{i,j} = -\frac{\langle a_i, b_j \rangle}{\langle b_j, b_j \rangle} = -\frac{\langle a_i, a_j \rangle}{\langle a_j, a_j \rangle} = 0$, от където $b_i = a_i$. \epr
+
+Твърдим, че за евклидово или унитарно пространство $V$ над поле $F$, с линейно независими вектори $a_1, ..., a_n$ и вектор $a_{n+1} \in l(a_1, ..., a_n)$, прилагането на ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху $a_1, ..., a_{n+1}$ връща $b_{n+1} = \zv$.
+
+\textbf{Доказателство:} От ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху $a_1, ..., a_n$ получаваме ненулеви ортогонални вектори $b_1, ..., b_n$, за които $l(a_1, ..., a_n) = l(b_1, ..., b_n)$. Търсим $b_{n+1} = a_{n+1} + \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_{n+1,j}b_j$. Понеже $a_{n+1} \in l(a_1, ..., a_n) = l(b_1, ..., b_n)$, то съществуват $\mu_j \in F$, такива че $a_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^n \mu_j b_j$. Тоест $b_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^n \mu_j b_j + \sum\limits_{j = 1}^n \lambda_{n+1,j}b_j = \sum\limits_{j = 1}^n (\mu_j + \lambda_{n+1,j})b_j$. От ортогоналността на $b_{n+1} \implies 0 = \langle b_{n+1}, b_j \rangle = (\mu_j + \lambda_{n+1,j}) \langle b_j, b_j \rangle$. Следователно $\mu_j + \lambda_{n+1} = 0 \quad \forall j \in \{ 1, ..., n \}$ и $b_{n+1} = \zv$. \epr
+
+Твърдим, че за $n$-мерно евклидово или унитарно пространство $V$ с ортонормирана система вектри $e_1, ..., e_k$, ако $k \leq n$, то $e_1, ..., e_k$ може да се допълни до ортонормиран базис $e_1, ..., e_k, ..., e_n$.
+
+\textbf{Доказателство:} $e_1, ..., e_k$ са линейно независими (лема) и можем да ги допълним до базис \newline $e_1, ..., a_{k+1}, ..., a_k$ (твърдение). От ортогонализация по метода на Грам-Шмид върху този базис получаваме ортогонални вектори $b_1, ..., b_n$, за които $b_j = e_j \quad \forall j \in \{ 1, ..., k \}$, които също са базис (теорема). Полагаме $||b_i|| := \sqrt{\langle b_i, b_i \rangle}^{\geq 0}, e_i := \frac{b_i}{||b_i||} \quad \forall i \in \{ 1, ..., n \}$ и получената система вектори $e_1, ..., e_n$ е линейно независима (лема) и ортонормиран базис (теорема). \epr
+
+\end{document}
\ No newline at end of file