Added algebra topics from session exam

1 files changed, 87 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex
new file mode 100644
index 0000000..5456d18
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Topics/Topic3.tex
@@ -0,0 +1,87 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage{topics-style}
+
+\newcommand{\topic}{Собствени вектори и инвариантни подпространства на линеен оператор.}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2022},
+		    pdftitle={Тема "\topic" по Алгебра 1.},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Тема "\topic" по Алгебра 1.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{05 Февруари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+По определение, за квадратна матрица  $A \in M_{n \times n}(F)$ от ред $n$, характеристичният и полином е
+\begin{align*}
+	f_A(x) & = \det(A - xE_n) = \left| \begin{array}{llll}
+		a_{11} - x & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+		a_{21} & a_{22} - x & \cdots & a_{2n} \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - x
+	\end{array}	\right| = \\
+	& = (-1)^nx^n + (-1)^{n-1}(a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn})x^{n-1} + ... + \det (A)
+\end{align*}
+Също по определение, корените на $f_A(x) = 0$ се наричат характеристични корени на $A$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че матрици $A \in M_{n \times n}(F)$ и $B = T^{-1}AT \in M_{n \times n}(F)$ са подобни, ако характеристичните им полиноми съвпадат.
+
+\textbf{Доказателство:} Понеже $xE_n = x(T^{-1}E_nT) = T^{-1}(xE_n)T$, то $f_B(x) = \det(B - xE_n) = $ \newline $= \det\left( T^{-1}AT - T^{-1}(xE_n)T \right) = \det\left( T^{-1}(A-xE_n)T \right) = \det(T^{-1})\det(A-xE_n)\det(T) = $ \newline $= \det(T^{-1}T)f_A(x) = f_A(x)$. \epr
+
+По определение, за линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, собствен вектор е вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ за който $\varphi(v) = \lambda v$ за някое $\lambda \in F$. $\lambda$ е собствена стойност на $\varphi$ (отговаряща на собствения вектор $v$).
+
+\lskip
+
+Твърдим, че собствените стойности на линеен оператор в крайномерно пространство съвпадат с характеристичните корени на оператора.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме линейно пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A \in M_{n \times n}(F)$. За произволен вектор $v \in V \setminus \{ \zv_V \}$ с координати $x \in M_{n \times 1}(F) \setminus \{ \mathcal{O}_{n \times 1} \}$ спрямо базиса $e$, е изпълнено $\varphi (v) = \varphi(ex) = \varphi(e)x = (eA)x = e(Ax)$ (матрична форма на линейността на изображение и определение за матрица на линеен оператор). То тогава, $v$ е собствен вектор на $\varphi$ със собствена стойност $\lambda \iff e(Ax) = \varphi(v) = \lambda v = \lambda(ex) = e(\lambda x)$ (свойства на умножение на матрици със скалар). Това е еквивалентно на $Ax = \lambda x = \lambda (E_n x) = (\lambda E_n) x$ и е в сила точно когато $(A - \lambda E_n)x = Ax - (\lambda E_n)x = \mathcal{O}_{n \times 1}$ има ненулево решение за $x$. Това е равносилно на $0 = \det (A - \lambda E_n) = f_A(\lambda)$. Тоест $\lambda$ е собствена стойност $\iff$ $\lambda$ е характеристичен корен. \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$, системата вектори, отговарящи на независимите собствени стойности на линеен оператор, е линейно независима.
+
+\textbf{Доказателство:} Ще го докажем с индукция по броя $n$ на собствените стойности $\lambda_1, ..., \lambda_n$ на линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$.
+
+\textit{База:} Няма какво да се доказва
+
+\textit{Индукционна стъпка:} Разглеждаме $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j}v_{i,j} = \zv_V$. От $\varphi(v_{i,j}) = \lambda_i v_{i,j}$ и $\varphi(\zv_V) = \zv_V$, получаваме $\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} \lambda_i v_{i,j} = \zv_V$. Умножаваме първоначалното разглеждано по $-\lambda_n$ и прибавяме към второто: $\zv_V = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} (\lambda_i - \lambda_n) v_{i,j} = \sum\limits_{i=1}^{n-1} \sum\limits_{j=1}^{k_i} \mu_{i,j} (\lambda_i - \lambda_n) v_{i,j}$. От Индукционно предположение, $\{ v_{i,j} \mid 1 \leq i \leq n-1, 1 \leq j \leq k_i \}$ е линейно независима, тоест $\mu_{i,j}(\lambda_i - \lambda_n) = 0 \quad \forall i \in \{ 1, ..., n-1 \}, j \in \{ 1, ..., k_i \}$. Имайки се предвид, че за $\forall i \in \{ 1, ..., n-1 \}, j \in \{ 1, ..., k_i \}$: $\lambda_i - \lambda_n \neq 0$, то $\mu_{i,j} = 0$. Тогава $\sum\limits_{j=1}^{k_n} \mu_{n,j} v_{n,j} = \zv_V$. От линейната независимост на $v_{n,1}, ..., v_{n, k_n}$, то $\mu_{n,j} = 0 \forall j \in \{ 1, ..., k_n \}$. \epr
+
+По определение, спектърът на матрица е множеството от характеристични корени на матрицата. Тя има просто спектър, ако има толкова характеристични корена, колко е размера и.
+
+Също по определение, спектърът на линеен оператор в $n$-мерно пространство е множеството на характеристичните му корени. Линейният оператор има прост спектър, ако има точно $n$ на брой характеристични корени.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за линеен оператор с прост спектър съществува базис в който матрицата на оператора е диагонална. Еквивалентно съществува базис съставен от собствени вектори.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме пространство $V$ над поле $F$ с линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ и $n$ различни характеристични корена $\lambda_1, ..., \lambda_n \in F$. От минало твърдение, следва че $\lambda_1, ..., \lambda_n$ са собствени стойности. Съответстващите на тях собствени вектори $v_1, ..., v_n$ са линейно независими (миналото твърдение) и са базис на $V$ (твърдение). Имайки предвид, че $\varphi(v_i) = \lambda_iv_i = 0 \cdot v_1 + \cdots + 0 \cdot v_{i-1} + \lambda_i v_i + 0 \cdot v_{i+1} + \cdots + 0 \cdot v_n \quad \forall i \in \{1, ..., n\}$, матрицата на $\varphi$ в базиса $v_1, ..., v_n$ е диагонална (и диагоналните елементи са равни на собствените стойности). \epr
+
+Твърдим, че за матрица $A \in M_{n \times n}(F)$ с прост спектър, съществува $T \in M_{n \times n}(F)$, такава че $D = T^{-1}AT$ е дагонална.
+
+\textbf{Доказателство:} Разглеждаме пространство $V$ над поле $F$ с базис $e = (e_1, ..., e_n)$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$ с матрица $A$ спрямо базиса $e$. Тогава $\varphi$ има прост спектър и от миналата теорема, съществува базис $v = (v_1, ..., v_n)$ в който матрицата на $\varphi$ е диагонална. Матрицата на прехода $T$ от базиса $e$ към базиса $v$ е обратима и $T^{-1}AT$ е диагонална. \epr
+
+По определение, за пространство $V$, нейно подпространство $W$ е инвариантно относно линеен оператор $\varphi : V \rightarrow V$, ако $\varphi(W) \subseteq W$.
+
+\lskip
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ над поле $F$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, множеството $U_{\lambda} = \{ v \in V \mid \varphi(v) = \lambda v \}$ е $\varphi$-инвариантно подпространство на $V$. Ако $\lambda$ е собствена стойност, то $U_{\lambda}$ е обединението на собствените вектори (отговарящи на $\lambda$). Иначе, ако $\lambda$ не е собствена стойност, то $U_{\lambda} = \{ \zv \}$.
+
+\textbf{Доказателство:} $U_{\lambda}$ е подпространство на $V$, защото за произволни $u_1, u_2 \in U_{\lambda}, \; \mu \in F$ е изпълнено $u_1 + u_2, \mu u_1 \in U_{\lambda}$ от $\varphi(u_1 + u_2) = \varphi(u_1) + \varphi(u_2) = \lambda u_1 + \lambda u_2 = \lambda(u_1 + u_2)$ и $\varphi(\mu u_1) = \mu \varphi(u_1) = \mu (\lambda u_1) = (\mu \lambda) u_1  = (\lambda \mu) u_1 = \lambda (\mu u_1)$. За произволен вектор е изпълнено $\varphi (u) = \lambda u \in U_{\lambda}$, следователно $U_{\lambda}$ е $\varphi$-инвариантно. \epr
+
+Твърдим, че за линейно пространство $V$ и линеен оператор $\varphi: V \rightarrow V$, неин ненулев вектор $v$ поражда 1-мерно $\varphi$-инвариантно подпространство $l(v)$ на $V$ тогава и само тогава, когато $v$ е собствен вектор на $\varphi$.
+
+\textbf{Доказателство:} $(\Rightarrow)$ Ненулевият вектор $v$ се изобразява в $\varphi(v) \in l(v)$, така че $\varphi(v) = \lambda v$ за някое $\lambda \in F$ и следователно $v$ е собствен вектор (отговарящ на $\lambda$).
+
+$(\Leftarrow)$ Произволен вектор $\mu v \in l(v)$ се изобразява в $\varphi(\mu v) = \mu \varphi(v) = \mu(\lambda v) = (\mu \lambda) v \in l(v)$ и 1-мерното пространство на $l(v)$ е $\varphi$-инвариантно. \epr
+
+Без доказателство, твърдим че за непостоянен полином $f(x) \in \mathbb{C}[x] \setminus \mathbb{C}$, всички корени са комплексни числа. (Основна Теорема на алгебрата)
+
+\end{document}
\ No newline at end of file