Added skeleton of algebra hw3 ex 2, 3, 4 and solved ex1

1 files changed, 62 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex
new file mode 100644
index 0000000..b740b84
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{3 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{04 Януари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Спрямо базиса $e = (e_1, e_2, e_3)$ на линейно пространство $V$ над полето $\mathbb{C}$ на комплексните числа, са дадени линейният оператор $\varphi_1 : V \rightarrow V$ с
+\begin{align*}
+	\varphi_1 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (-2x_1 + 5x_2 + x_3)e_1 + (x_1 + x_2 + x_3)e_2 + (x_1 - 2x_2 + x_3)e_3
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$ и линейният оператор $\varphi_2 : V \rightarrow V$ с
+\begin{align*}
+	\varphi_2 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = x_1 e_1 + x_3 e_2 + x_2 e_3
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. \newline
+Спрямо базиса $f = (f_1, f_2)$ на линейното пространство $W$ над $\mathbb{C}$ е дадено линейно изображение
+\begin{align*}
+	\psi : V \rightarrow W \quad \text{ с } \quad \psi (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (x_1 - 2x_2 + 3x_3)f_1 + (-2x_1 + 4x_2 - 6x_3)f_2
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. За кои стойности на комплексния параметър $p \in \mathbb{C}$ композицията $\psi (\varphi_1 + p\varphi_2) = \mathbb{O}$ е нулевото изображение $\mathbb{O} : V \rightarrow W$ с $\mathbb{O}(x) = \mathcal{O}_W$ за всяко $v \in V$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+[TODO]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file