Added skeleton of algebra hw3 ex 2, 3, 4 and solved ex1

8 files changed, 386 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..91401fa
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..c5352ad
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,203 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{1 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{04 Януари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+В пространството $F^4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени линейна обвивка $U = l(a_1, a_2)$ на векторите
+\begin{align*}
+	a_1 = (3, -1, -1, 1) \quad a_2 = (-1, 1, -3, 3)
+\end{align*}
+и пространство от решения $W$ на хомогенна система линейни уравнения
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{rrrrrr}
+		x_1 & -2x_2 & +x_3 & +5x_4 & = & 0 \\
+		2x_1 & -x_2 & -3x_3 & +2x_4 & = & 0
+	\end{array} \right.
+\end{align*}
+Да се намерят базиси на сечението $U \cap W$ и на сумата $U + W$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Търсим базис на $W$. Съставяме следната матрица от коефициенти на решения:
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{rrrr}
+		1 & -2 & 1 & 5 \\
+		2 & -1 & -3 & 2
+	\end{array} \right)
+	\sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		1 & -2 & 1 & 5 \\
+		0 & 3 & -5 & -8
+	\end{array} \right)
+	\sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		3 & 0 & -7 & -1 \\
+		0 & 3 & -5 & -8
+	\end{array} \right)
+\end{align*}
+$x_3$ и $x_4$ са свободни променливи. Тогава съставяме фундаментална система решения:
+\begin{align*}
+	& x_3 = 0 \quad x_4 = 3 \implies x_1 = 1 \quad x_2 = 8 \quad (1, 8, 0, 3) \\
+	& x_3 = 3 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 7 \quad x_2 = 5 \quad (7, 5, 3, 0)
+\end{align*}
+Разглеждаме матрицата от базисите на $U$ и $W$:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{rrrr}
+		3 & -1 & -1 & 1 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+		1 & 8 & 0 & 3 \\
+		7 & 5 & 3 & 0
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Събираме втори ред с трети. Умножаваме втори по 3 и събираме първи.} \\
+		& \text{Умножаваме втори по 7 и събираме с четвърти.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 2 & -10 & 10 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+		0 & 9 & -3 & 6 \\
+		0 & 12 & -18 & 21
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Делим първи ред на 2. Делим трети и четвърти на 3}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 1 & -5 & 5 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+		0 & 3 & -1 & 2 \\
+		0 & 4 & -6 & 7
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи по -1 и събираме с втори.} \\
+		& \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с трети.} \\
+		& \text{Умонжаваме първи по -4 и събираме с четвърти.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 1 & -5 & 5 \\
+		-1 & 0 & 2 & -2 \\
+		0 & 0 & 14 & -13 \\
+		0 & 0 & 14 & -13
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме трети по -1 и събираме с четвърти.} \\
+		& \text{Умножаваме първи и втори ред по 14. Умножаваме трети по 5 и} \\
+		& \text{събираме с първи. Умножаваме трети по -2 и събираме с втори.} \\
+		& \text{Умножаваме втори по -1. Разменяме първи и втори ред.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		14 & 0 & 0 & 2 \\
+		0 & 14 & 0 & 5 \\
+		0 & 0 & 14 & -13 \\
+		0 & 0 & 0 & 0
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Следователно базис на } U + W \text{ е: } \answerbox{(14, 0, 0, 2), (0, 14, 0, 5), (0, 0, 14, -13)}
+	\end{aligned} \\
+\end{align*}
+
+Търсим фундаментална система решения на $U$:
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{rrrr}
+		3 & -1 & -1 & 1 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+	\end{array} \right)
+	\sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 2 & -10 & 10 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+	\end{array} \right)
+	\sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 1 & -5 & 5 \\
+		-1 & 1 & -3 & 3 \\
+	\end{array} \right)
+	\sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		0 & 1 & -5 & 5 \\
+		-1 & 0 & 2 & -2 \\
+	\end{array} \right)
+\end{align*}
+$x_3$ и $x_4$ са независими променливи. Съставяме фундаментална система решения:
+\begin{align*}
+	& x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = -5 \quad (2, -5, 0, 1) \\
+	& x_3 = -1 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = -5 \quad (2, -5, -1, 0)
+\end{align*}
+Разглеждаме матрица от фундаменталните системи решения на $U$ и $W$:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{rrrr}
+		2 & -5 & 0 & 1 \\
+		2 & -5 & -1 & 0 \\
+		3 & 0 & -7 & -1 \\
+		0 & 3 & -5 & -8
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с втори. Умножаваме трети по 2.} \\
+		& \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с трети.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		2 & -5 & 0 & 1 \\
+		0 & 0 & -1 & -1 \\
+		0 & 15 & -14 & -5 \\
+		0 & 3 & -5 & -8
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме втори ред по -14 и събираме с трети. Умножаваме втори по} \\
+		& \text{-5 и събираме с четвърти. Делим трети и четвърти на 3.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		2 & -5 & 0 & 1 \\
+		0 & 0 & -1 & -1 \\
+		0 & 5 & 0 & 3 \\
+		0 & 1 & 0 & -1
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме четвърти ред по 5 и събираме с първи.} \\
+		& \text{Умножаваме четвърти ред по -5 и събираме с трети.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{rrrr}
+		2 & -5 & 0 & -4 \\
+		0 & 0 & -1 & -1 \\
+		0 & 0 & 0 & 8 \\
+		0 & 1 & 0 & -1
+	\end{array} \right)
+	\quad \begin{aligned}
+		& \text{Делим трети ред на 8. Чрез умножения и събирания с другите редове,} \\
+		& \text{зануляваме четвъртата им колона. Подобно правим с четвърти и} \\
+		& \text{първи ред. Разменяме редовете и стигаме до Гаус-Жорданов вид.}
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+Следователно базис на $U \cap W$ е: \answerbox{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b165c39
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..00cb24a
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{2 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{04 Януари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+В линейно пространство $U$ над полето $\mathbb{Q}$ на рационалните числа са дадени базиси
+\begin{align*}
+	e = (e_1, e_2) \text{ и } e' = (e_1', e_2') \quad \text{ с } \quad e_1' = e_1 + 3e_2, \quad e_2' = 2e_1 + 5e_2
+\end{align*}
+а в линейното пространство $V$ над $\mathbb{Q}$ са дадени базиси
+\begin{align*}
+	f=(f_1, f_2, f_3) \text{ и } f'=(f_1', f_2', f_3') \quad \text{ с } \quad f_1 = f_1' + 3f_2' + 6f_3', \quad f_2 = -f_2'-2f_3', \quad f_3 = -f_1' - 4f_2' - 7f_3'
+\end{align*}
+Да разгледаме линейно изображение $\varphi : U \rightarrow V$, зададено чрез
+\begin{align*}
+	\varphi (x_1 e_1' + x_2 e_2') = (2x_1 + 4x_2)f_1' + (6x_1 + 12x_2)f_2' + (14x_1 + 27x_2) f_3'
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$. Да се намери матрицата $A$ на $\varphi$ спрямо базиса $e = (e_1, e_2)$ на $U$ и базиса $f=(f_1, f_2, f_3)$ на $V$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+[TODO]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..64afef1
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex
new file mode 100644
index 0000000..b740b84
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise3.tex
@@ -0,0 +1,62 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{3 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{04 Януари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Спрямо базиса $e = (e_1, e_2, e_3)$ на линейно пространство $V$ над полето $\mathbb{C}$ на комплексните числа, са дадени линейният оператор $\varphi_1 : V \rightarrow V$ с
+\begin{align*}
+	\varphi_1 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (-2x_1 + 5x_2 + x_3)e_1 + (x_1 + x_2 + x_3)e_2 + (x_1 - 2x_2 + x_3)e_3
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$ и линейният оператор $\varphi_2 : V \rightarrow V$ с
+\begin{align*}
+	\varphi_2 (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = x_1 e_1 + x_3 e_2 + x_2 e_3
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. \newline
+Спрямо базиса $f = (f_1, f_2)$ на линейното пространство $W$ над $\mathbb{C}$ е дадено линейно изображение
+\begin{align*}
+	\psi : V \rightarrow W \quad \text{ с } \quad \psi (x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = (x_1 - 2x_2 + 3x_3)f_1 + (-2x_1 + 4x_2 - 6x_3)f_2
+\end{align*}
+за произволни $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}$. За кои стойности на комплексния параметър $p \in \mathbb{C}$ композицията $\psi (\varphi_1 + p\varphi_2) = \mathbb{O}$ е нулевото изображение $\mathbb{O} : V \rightarrow W$ с $\mathbb{O}(x) = \mathcal{O}_W$ за всяко $v \in V$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+[TODO]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..a268124
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..4e06568
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,60 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+\newcommand{\im}{\text{im}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{4 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 3 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{04 Януари 2022}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Спрямо някакъв базис на линейното пространство $U$ над полето $\mathbb{R}$ на реалните числа, линейният оператор $\varphi : U \rightarrow U$ има матрица
+\begin{align*}
+	A = \left( \begin{array}{rrrrr}
+		1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
+		-2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\
+		2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\
+		-1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\
+		-1 & 1 & -2 & 2 & -2
+	\end{array} \right).
+\end{align*}
+Да се намерят базиси на сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ и на сумата $\ker (\varphi) + \im (\varphi)$ на ядрото $\ker (\varphi)$ и образа $\im (\varphi)$ на $\varphi$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+[TODO]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file