Solved ex 1, 2 and 4 from algebra homework 2 and added skeleton for ex 3

1 files changed, 104 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..2c932e3
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{4 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се намери рангът на матрицата
+\begin{align*}
+	A = \left( \begin{array}{rrrr}
+		1 & -2 & p & 3 \\
+		1 & -1 & 2 & -2 \\
+		1 & 1 & 3 & -2 \\
+		-1 & q & -3 & 12 \\
+	\end{array}
+	\right)
+\end{align*}
+в зависимост от стойностите на комплексните параметри $p, q \in \mathbb{C}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Умножаваме втори ред по $-1$ и събираме с първи. Събираме трети ред с четвърти. Разменяме първи ред с втори, втори с трети и трети с четвърти. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{cccc}
+		1 & -1 & 2 & -2 \\
+		1 & 1 & 3 & -2 \\
+		0 & q + 1 & 0 & 10 \\
+		0 & -1 & p - 2 & 5
+	\end{array}
+	\right)
+	\quad
+	& \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред с -1 и събираме с втори.} \\
+		& \text{Получения втори ред делим на 2 и събираме с първи и четвърти.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		1 & 0 & \frac{5}{2} & -2 \\
+		0 & 2 & 1 & 0 \\
+		0 & q + 1 & 0 & 10 \\
+		0 & 0 & p - \frac{1}{2} & 5
+	\end{array}
+	\right)
+\end{align*}
+
+\begin{enumerate}[label={\textbf{\Roman*. Случай:}},leftmargin=7em]
+	\item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q = 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline
+	С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Умножваме го по -5 и събираме с четвърти, умножаваме трети по 2 и събираме с първи. Резултатът е матрица в Гаус-Жорданов вид с три линейно независими вектора. $\implies \rank (A) = 3$
+	
+	\item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q = 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline
+	С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline
+	Делим четвърти ред с $p - \frac{1}{2}$ и пак чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме третата им колона. \newline
+	Финално, разменяме последните два реда и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+	
+	\item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q \neq 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline
+	Четвърти ред делим на 5. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline
+	Делим трети ред на $q + 1$, умножаваме по -2 и събираме с втори ред. Умножаваме втори ред по $-\frac{5}{2}$ и събираме с първи. Разменяме втори и трети ред. \newline
+	Получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+	
+	\item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q \neq 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline
+	Умножаваме трети ред по $\frac{-2}{q+1}$ и събираме с втори ред. Умножаваме четвърти ред по $\frac{1}{p - \frac{1}{2}}$ и събираме с втори ред. \newline
+	Втори ред има само една ненулева стойност, и то в четвърта колона. Делим, умножаваме и събираме с другите редове, така че да занулим четвъртата им колона. \newline
+	Правим подобно с трети и четвърти ред. Разменяме редове и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+\end{enumerate}
+
+\noindent
+\answerbox{\implies \text{Ако } q = 1 \text{ и } p = \frac{1}{2}, \; \rank(A) = 3, \text{ иначе } \rank(A) = 4}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file