Solved ex 1, 2 and 4 from algebra homework 2 and added skeleton for ex 3

8 files changed, 347 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..090b90e
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..eaa6d18
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{1 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се пресметне детерминантата
+\begin{align*}
+	\Delta_n = 
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
+		c & a & d & d & \cdots & d & d \\
+		c & d & a & d & \cdots & d & d \\
+		c & d & d & a & \cdots & d & d \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c & d & d & d & \cdots & a & d \\
+		c & d & d & d & \cdots & d & a
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+от ред $n \in \mathbb{N}$ с комплексни елементи $a, b, c, d \in \mathbb{C}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Умножавме първи ред по $-\frac{d}{b}$ и събираме с всички други редове. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
+		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
+	\end{array}
+	\right|
+\end{align*}
+	
+След това, умножаваме последния ред по $-\frac{b}{a - d}$ и събираме с първия, умножаваме предпоследния със същата дроб и събираме с първия и так. нат. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		A & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
+	\end{array}
+	\right|
+\end{align*}
+\begin{align*}
+	\text{Където } A & = a + \left[ -\frac{b}{a - d} \cdot \left( c - \frac{ad}{b} \right) \right] + \cdots + \left[ -\frac{b}{a - d} \cdot \left( c - \frac{ad}{b} \right) \right] = \\
+	& = a + \frac{ad - bc}{a - d} + \cdots + \frac{ad - bc}{a - d} = a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right)
+\end{align*}
+
+Детерминантата е триъгълна относно вторичния диагонал, следователно:
+\begin{align*}
+	\Delta_n = A \cdot (a-d) \cdot (a-d) \cdot ... \cdot (a-d) = \answerbox{\left[ a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right) \right] (a - d)^{n - 1}}
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..632c5e2
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..b553d73
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{2 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се пресметне детерминантата
+\begin{align*}
+	\Delta_{n+1} = \left| \begin{array}{cccc}
+		(x+a_1)^n & (x+a_2)^n & \cdots & (x + a_{n+1})^n \\
+		(x+a_1)^{n-1} & (x+a_2)^{n-1} & \cdots & (x + a_{n+1})^{n-1} \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		(x+a_1)^2 & (x+a_2)^2 & \cdots & (x + a_{n+1})^2 \\
+		x+a_1 & x+a_2 & \cdots & x+a_{n+1} \\
+		1 & 1 & \cdots & 1
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+за произволно неотрицателно цяло число $n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ и произволни рационални числа $x, a_1, a_2, ..., a_{n+1} \in \mathbb{Q}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Разменяме първи ред с последния, втори ред с предпоследния и так. нат. Ако $n+1$ е нечетно, не правим нищо със средния ред, тоест правим общо $\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor$ размени на редовете. Полагаме $y_i = x + a_i, \; i \in \{ 1, 2, ..., n+1 \}$. Получаваме:
+\begin{align*}
+	(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left| \begin{array}{cccc}
+		1 & 1 & \cdots & 1 \\
+		y_1 & y_2 & \cdots & y_{n+1} \\
+		y_1^2 & y_2^2 & \cdots & y_{n+1}^2 \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		y_1^{n - 1} & y_2^{n - 1} & \cdots & y_{n+1}^{n - 1} \\
+		y_1^n & y_2^n & \cdots & y_{n+1}^n
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+
+Това е детерминантата на Вандермонд относно $y_i$ : $W(y_1, y_2, ..., y_{n+1})$. От упражнения знаем, че тя е равна на $\prod\limits_{j = 1}^{n} \left( \prod\limits_{i = j + 1}^{n+1} (y_i - y_j) \right) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (y_i - y_j) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (x + a_i - (x - a_j)) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j)$.
+\begin{align*}
+	\text{Следователно } \quad \Delta_{n+1} = \answerbox{(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left( \prod_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j) \right)}
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7fc392f
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex
new file mode 100644
index 0000000..9b00e0f
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{3 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се реши матричното уравнение
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{rrrr}
+		2 & 1 & 0 & -1 \\
+		3 & 2 & 1 & -1 \\
+		1 & 1 & 1 & -1 \\
+		4 & 3 & 3 & 1
+	\end{array} \right)
+	X
+	\left( \begin{array}{rrr}
+		-2 & 1 & -1 \\
+		1 & 2 & -1 \\
+		1 & -1 & 1
+	\end{array} \right)
+	=
+	\left( \begin{array}{rrr}
+		-1 & 8 & -5 \\
+		-1 & 12 & -7 \\
+		2 & 6 & -3 \\
+		-3 & 13 & -7
+	\end{array} \right)
+\end{align*}
+с числови коефициенти.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+[TODO]
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf
new file mode 100644
index 0000000..bf77760
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
new file mode 100644
index 0000000..2c932e3
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex
@@ -0,0 +1,104 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{4 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се намери рангът на матрицата
+\begin{align*}
+	A = \left( \begin{array}{rrrr}
+		1 & -2 & p & 3 \\
+		1 & -1 & 2 & -2 \\
+		1 & 1 & 3 & -2 \\
+		-1 & q & -3 & 12 \\
+	\end{array}
+	\right)
+\end{align*}
+в зависимост от стойностите на комплексните параметри $p, q \in \mathbb{C}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Умножаваме втори ред по $-1$ и събираме с първи. Събираме трети ред с четвърти. Разменяме първи ред с втори, втори с трети и трети с четвърти. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left( \begin{array}{cccc}
+		1 & -1 & 2 & -2 \\
+		1 & 1 & 3 & -2 \\
+		0 & q + 1 & 0 & 10 \\
+		0 & -1 & p - 2 & 5
+	\end{array}
+	\right)
+	\quad
+	& \begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред с -1 и събираме с втори.} \\
+		& \text{Получения втори ред делим на 2 и събираме с първи и четвърти.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		1 & 0 & \frac{5}{2} & -2 \\
+		0 & 2 & 1 & 0 \\
+		0 & q + 1 & 0 & 10 \\
+		0 & 0 & p - \frac{1}{2} & 5
+	\end{array}
+	\right)
+\end{align*}
+
+\begin{enumerate}[label={\textbf{\Roman*. Случай:}},leftmargin=7em]
+	\item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q = 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline
+	С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Умножваме го по -5 и събираме с четвърти, умножаваме трети по 2 и събираме с първи. Резултатът е матрица в Гаус-Жорданов вид с три линейно независими вектора. $\implies \rank (A) = 3$
+	
+	\item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q = 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline
+	С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline
+	Делим четвърти ред с $p - \frac{1}{2}$ и пак чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме третата им колона. \newline
+	Финално, разменяме последните два реда и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+	
+	\item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q \neq 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline
+	Четвърти ред делим на 5. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline
+	Делим трети ред на $q + 1$, умножаваме по -2 и събираме с втори ред. Умножаваме втори ред по $-\frac{5}{2}$ и събираме с първи. Разменяме втори и трети ред. \newline
+	Получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+	
+	\item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q \neq 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline
+	Умножаваме трети ред по $\frac{-2}{q+1}$ и събираме с втори ред. Умножаваме четвърти ред по $\frac{1}{p - \frac{1}{2}}$ и събираме с втори ред. \newline
+	Втори ред има само една ненулева стойност, и то в четвърта колона. Делим, умножаваме и събираме с другите редове, така че да занулим четвъртата им колона. \newline
+	Правим подобно с трети и четвърти ред. Разменяме редове и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$
+\end{enumerate}
+
+\noindent
+\answerbox{\implies \text{Ако } q = 1 \text{ и } p = \frac{1}{2}, \; \rank(A) = 3, \text{ иначе } \rank(A) = 4}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file