Solved ex 1, 2 and 4 from algebra homework 2 and added skeleton for ex 3

1 files changed, 75 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..b553d73
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{2 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се пресметне детерминантата
+\begin{align*}
+	\Delta_{n+1} = \left| \begin{array}{cccc}
+		(x+a_1)^n & (x+a_2)^n & \cdots & (x + a_{n+1})^n \\
+		(x+a_1)^{n-1} & (x+a_2)^{n-1} & \cdots & (x + a_{n+1})^{n-1} \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		(x+a_1)^2 & (x+a_2)^2 & \cdots & (x + a_{n+1})^2 \\
+		x+a_1 & x+a_2 & \cdots & x+a_{n+1} \\
+		1 & 1 & \cdots & 1
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+за произволно неотрицателно цяло число $n \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ и произволни рационални числа $x, a_1, a_2, ..., a_{n+1} \in \mathbb{Q}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Разменяме първи ред с последния, втори ред с предпоследния и так. нат. Ако $n+1$ е нечетно, не правим нищо със средния ред, тоест правим общо $\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor$ размени на редовете. Полагаме $y_i = x + a_i, \; i \in \{ 1, 2, ..., n+1 \}$. Получаваме:
+\begin{align*}
+	(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left| \begin{array}{cccc}
+		1 & 1 & \cdots & 1 \\
+		y_1 & y_2 & \cdots & y_{n+1} \\
+		y_1^2 & y_2^2 & \cdots & y_{n+1}^2 \\
+		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		y_1^{n - 1} & y_2^{n - 1} & \cdots & y_{n+1}^{n - 1} \\
+		y_1^n & y_2^n & \cdots & y_{n+1}^n
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+
+Това е детерминантата на Вандермонд относно $y_i$ : $W(y_1, y_2, ..., y_{n+1})$. От упражнения знаем, че тя е равна на $\prod\limits_{j = 1}^{n} \left( \prod\limits_{i = j + 1}^{n+1} (y_i - y_j) \right) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (y_i - y_j) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (x + a_i - (x - a_j)) = \prod\limits_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j)$.
+\begin{align*}
+	\text{Следователно } \quad \Delta_{n+1} = \answerbox{(-1)^{\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor} \left( \prod_{1 \leq j < i \leq n+1} (a_i - a_j) \right)}
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file