Solved ex 1, 2 and 4 from algebra homework 2 and added skeleton for ex 3

1 files changed, 97 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..eaa6d18
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+\newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[enumerate]{label=\arabic*.}
+
+\newcommand{\ex}{1 Въпрос}
+
+\usepackage[pdfauthor={Камен Димитров Младенов, КН Зимен семестър, 2021},
+		    pdftitle={Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .},
+		    pdfsubject={},
+		    pdfkeywords={},
+		    colorlinks=true,
+		    urlcolor=blue]{hyperref}
+
+\title{\vspace{-1.5cm}Домашна работа 2 по Алгебра 1. \ex .}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{14 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{\ex}}
+
+Да се пресметне детерминантата
+\begin{align*}
+	\Delta_n = 
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
+		c & a & d & d & \cdots & d & d \\
+		c & d & a & d & \cdots & d & d \\
+		c & d & d & a & \cdots & d & d \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c & d & d & d & \cdots & a & d \\
+		c & d & d & d & \cdots & d & a
+	\end{array} \right|
+\end{align*}
+от ред $n \in \mathbb{N}$ с комплексни елементи $a, b, c, d \in \mathbb{C}$
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Умножавме първи ред по $-\frac{d}{b}$ и събираме с всички други редове. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		a & b & b & b & \cdots & b & b \\
+		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
+	\end{array}
+	\right|
+\end{align*}
+	
+След това, умножаваме последния ред по $-\frac{b}{a - d}$ и събираме с първия, умножаваме предпоследния със същата дроб и събираме с първия и так. нат. Получаваме:
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		A & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & a - d & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & a - d & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & a - d & \cdots & 0 & 0 \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & a - d & 0 \\
+		c - \frac{ad}{b} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a - d
+	\end{array}
+	\right|
+\end{align*}
+\begin{align*}
+	\text{Където } A & = a + \left[ -\frac{b}{a - d} \cdot \left( c - \frac{ad}{b} \right) \right] + \cdots + \left[ -\frac{b}{a - d} \cdot \left( c - \frac{ad}{b} \right) \right] = \\
+	& = a + \frac{ad - bc}{a - d} + \cdots + \frac{ad - bc}{a - d} = a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right)
+\end{align*}
+
+Детерминантата е триъгълна относно вторичния диагонал, следователно:
+\begin{align*}
+	\Delta_n = A \cdot (a-d) \cdot (a-d) \cdot ... \cdot (a-d) = \answerbox{\left[ a + (n - 1) \left( \frac{ad - bc}{a - d} \right) \right] (a - d)^{n - 1}}
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file