diff options
Solved exercises 2 and 3 from algebra homework
1 files changed, 120 insertions, 0 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex | 120 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex new file mode 100644 index 0000000..dee69bd --- /dev/null +++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +% Document MUST be built with XeLaTeX! +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} + +% Поддръжка на български език +% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 +\usepackage{fontspec} +\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} +\setmainfont{CMU Serif} +\setsansfont{CMU Sans Serif} + +\usepackage[bulgarian,english]{babel} + +\usepackage{amsmath} % Математически символи +\usepackage{amsfonts} % Още математически символи +\usepackage{hyperref} % Линкове +\usepackage{cancel} % Зачертаване +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове + +\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 3 Въпрос.} +\author{Камен Димитров Младенов, Група 6} +\date{16 Ноември 2021} + +\begin{document} + +\maketitle + +\paragraph{\colorbox{yellow}{3 Въпрос}} + +В пространството $\mathbb{Q} ^ 5$ на наредените петорки рационални числа са дадени векторите +\begin{align*} + & a_1 = (1,-1,2,3,4), \; a_2 = (3,1,-2,1,-1), \; a_3 = (2,-3,1,-1,1). +\end{align*} +Да се докаже, че $a_1, a_2, a_3$ е линейно независима система вектори и да се допълни тази система до базис на $\mathbb{Q}^5$. + +\paragraph{Решение:} + +Дадените вектори образуват следната система от вектори: +\begin{align*} + & \left| \begin{array}{ccccccc} + x_1 & -x_2 & 2x_3 & 3x_4 & 4x_5 & = & 0 \\ + 3x_1 & x_2 & -2x_3 & x_4 & -x_5 & = & 0 \\ + 2x_1 & -3x_2 & x_3 & -x_4 & x_5 & = & 0 \\ + \end{array} \right. \quad + \begin{aligned} + & \text{} \\ + \end{aligned} +\end{align*} +Което се свежда до следната матрица от коефициенти: +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{ccccc} + 1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\ + 3 & 1 & -2 & 1 & -1 \\ + 2 & -3 & 1 & -1 & 1 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи ред с -3 и го събираме с втори ред.} \\ + & \text{Умножаваме първи ред с -2 и го събираме с трети ред.} \\ + & \text{Разменяме втори ред с трети.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccccc} + 1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\ + 0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\ + 0 & 4 & -8 & -8 & -13 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме втори ред с 4 и го събираме с трети ред.} \\ + & \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с първи ред.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccccc} + 1 & 0 & 5 & 10 & 11 \\ + 0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\ + 0 & 0 & -20 & -36 & -41 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи ред с 12, втори ред с -20} \\ + & \text{и трети ред с -3.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccccc} + 12 & 0 & 60 & 120 & 132 \\ + 0 & 20 & 60 & 140 & 140 \\ + 0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме трети ред с -1 и го събираме с} \\ + & \text{първи и втори ред.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccccc} + 12 & 0 & 0 & 12 & 9 \\ + 0 & 20 & 0 & 32 & 17 \\ + 0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Делим първи ред с 12, втори ред с 20 и трети ред с 60.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccccc} + 1 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\ + \hfill \\[-8pt] + 0 & 1 & 0 & \frac{8}{5} &\frac{17}{20} \\ + \hfill \\[-8pt] + 0 & 0 & 1 & \frac{9}{5} & \frac{41}{20} \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Матрицата е в Гаус-Жорданов вид.} \\ + & \implies \colorbox{yellow}{$a_1, a_2, a_3$ са линейно независими вектори} + \end{aligned} +\end{align*} +Избираме поизволен $a_4 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3 \right)$ и произволен $a_5 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3, a_4 \right)$: +\begin{align*} + a_4 = \left( 0, 0, 0, 1, 0 \right) \;,\quad a_5 = \left( 0, 0, 0, 0, 1 \right) +\end{align*} +От Лемата за линейна независимост, следва че $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ са линейно независими. + +\noindent +От $\dim \left( \mathbb{Q}^5 \right) = 5$, знаем че всеки базис на $\mathbb{Q} ^ 5$ е съставен от пет линейно независими вектора. \linebreak + +$ \implies$ \colorbox{yellow}{$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ е базис на $\mathbb{Q} ^ 5$} + +\end{document}
\ No newline at end of file |