Solved exercises 2 and 3 from algebra homework

4 files changed, 249 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c2f92a3
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
new file mode 100644
index 0000000..9aed74a
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex
@@ -0,0 +1,129 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{hyperref}           % Линкове
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+
+\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 2 Въпрос.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{16 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{2 Въпрос}}
+
+В пространството $F ^ 4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени векторите 
+\begin{align*}
+	& a_1 = (-1,2,1,1), \; a_2 = (3, -1,2,2), \; a_3 = (4,1,-1,2), \\
+	& a_4 = ( 1, -3,2,1), \;  a_5 = ( 1,3,4,4), \;  a_6 = ( -1,7,-4,0).
+\end{align*}
+Да се намери базис на $F ^ 4$, който се съдържа в множеството $\left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Дадените вектори образуват следната матрица от коефициенти:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{cccc}
+		-1 & 2 & 1 & 1 \\
+		3 & -1 & 2 & 2 \\
+		4 & 1 & -1 & 2 \\
+		1 & -3 & 2 & 1 \\
+		1 & 3 & 4 & 4 \\
+		-1 & 7 & -4 & 0 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Събираме първия ред с четвърти и пети,} \\
+		& \text{умножаваме първия с -1 и го събираме с шести ред,} \\
+		& \text{умножаваме първия с 3 и го събираме с втори ред,} \\
+		& \text{умножаваме първия с 4 и го събираме с трети ред.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		-1 & 2 & 1 & 1 \\
+		0 & 5 & 5 & 5 \\
+		0 & 9 & 3 & 6 \\
+		0 & -1 & 3 & 2 \\
+		0 & 5 & 5 & 5 \\
+		0 & 5 & -5 & -1 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме петия ред с -1 и го събираме с втори и шести.} \\
+		& \text{Делим пети ред на 5 и трети ред на 3.} \\
+		& \text{Събираме резултатния пети ред с четвърти,} \\
+		& \text{умножаваме пети ред с -1 и го събираме с първия.}
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		-1 & 1 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 3 & 1 & 2 \\
+		0 & 0 & 4 & 3 \\
+		0 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & 0 & -10 & -6 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Делим шести ред на 2.} \\
+		& \text{Събираме резултатния шести ред с четвърти.} \\
+		& \text{Умножаваме пети ред с -3 и събираме с трети.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		-1 & 1 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & -2 & -1 \\
+		0 & 0 & -1 & 0 \\
+		0 & 1 & 1 & 1 \\
+		0 & 0 & -5 & -3 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме четвърти ред с -2 и събираме с трети,} \\
+		& \text{събираме четвърти ред с пети,} \\
+		& \text{умножаваме четвърти с 5 и събираме с шести.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		-1 & 1 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & -1 \\
+		0 & 0 & -1 & 0 \\
+		0 & 1 & 0 & 1 \\
+		0 & 0 & 0 & -3 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме трети ред с -3 и събираме с шести.} \\
+		& \text{Събираме трети ред с пети.} \\
+		& \text{Умножаваме пети ред с -1 и събраме с първи.} \\
+		& \text{Умножаваме с -1 първи, трети и четвърти ред.} \\
+	\end{aligned} \\
+\end{align*}
+\begin{align*}
+	& \sim \left( \begin{array}{cccc}
+		1 & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 1 \\
+		0 & 0 & 1 & 0 \\
+		0 & 1 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & 0 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{След размяна на втори с пети и трети с четвърти} \\
+		& \text{и след премахване на последните два нулеви реда,} \\
+		& \text{получаваме матрица в Гаус-Жорданов вид.} \\
+		& \implies a_1, a_3, a_4, a_5 \text{ са линейно независими вектори}
+	\end{aligned} \\
+\end{align*}
+$\dim \left( F^4 \right) = 4$ , следователно всеки базис на $F^4$ е съставен от четири линейно незаивисми вектора и от $a_1, a_3, a_4, a_5 \in \left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$, следва че \colorbox{yellow}{$\left( a_1, a_3, a_4, a_5 \right)$ е базис на $F^4$}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf
new file mode 100644
index 0000000..93d5567
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex
new file mode 100644
index 0000000..dee69bd
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise3.tex
@@ -0,0 +1,120 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{hyperref}           % Линкове
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+
+\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 3 Въпрос.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{16 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{3 Въпрос}}
+
+В пространството $\mathbb{Q} ^ 5$ на наредените петорки рационални числа са дадени векторите 
+\begin{align*}
+	& a_1 = (1,-1,2,3,4), \; a_2 = (3,1,-2,1,-1), \; a_3 = (2,-3,1,-1,1).
+\end{align*}
+Да се докаже, че $a_1, a_2, a_3$ е линейно независима система вектори и да се допълни тази система до базис на $\mathbb{Q}^5$.
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Дадените вектори образуват следната система от вектори:
+\begin{align*}
+	& \left| \begin{array}{ccccccc}
+		x_1 & -x_2 & 2x_3 & 3x_4 & 4x_5 & = & 0 \\
+		3x_1 & x_2 & -2x_3 & x_4 & -x_5 & = & 0 \\
+		2x_1 & -3x_2 & x_3 & -x_4 & x_5 & = & 0 \\
+	\end{array} \right. \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{} \\
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+Което се свежда до следната матрица от коефициенти:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
+		3 & 1 & -2 & 1 & -1 \\
+		2 & -3 & 1 & -1 & 1 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред с -3 и го събираме с втори ред.} \\
+		& \text{Умножаваме първи ред с -2 и го събираме с трети ред.} \\
+		& \text{Разменяме втори ред с трети.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & -1 & 2 & 3 & 4 \\
+		0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
+		0 & 4 & -8 & -8 & -13 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме втори ред с 4 и го събираме с трети ред.} \\
+		& \text{Умножаваме втори ред с -1 и го събираме с първи ред.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 0 & 5 & 10 & 11 \\
+		0 & -1 & -3 & -7 & -7 \\
+		0 & 0 & -20 & -36 & -41 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме първи ред с 12, втори ред с -20} \\
+		& \text{и трети ред с -3.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		12 & 0 & 60 & 120 & 132 \\
+		0 & 20 & 60 & 140 & 140 \\
+		0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножаваме трети ред с -1 и го събираме с} \\
+		& \text{първи и втори ред.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		12 & 0 & 0 & 12 & 9 \\
+		0 & 20 & 0 & 32 & 17 \\
+		0 & 0 & 60 & 108 & 123 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Делим първи ред с 12, втори ред с 20 и трети ред с 60.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc}
+		1 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\
+		\hfill \\[-8pt]
+		0 & 1 & 0 & \frac{8}{5} &\frac{17}{20} \\
+		\hfill \\[-8pt]
+		0 & 0 & 1 & \frac{9}{5} & \frac{41}{20} \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Матрицата е в Гаус-Жорданов вид.} \\
+		& \implies \colorbox{yellow}{$a_1, a_2, a_3$ са линейно независими вектори}
+	\end{aligned}
+\end{align*}
+Избираме поизволен $a_4 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3 \right)$ и произволен $a_5 \in \mathbb{Q}^5 \setminus l\left( a_1, a_2, a_3, a_4 \right)$:
+\begin{align*}
+	a_4 = \left( 0, 0, 0, 1, 0 \right) \;,\quad a_5 = \left( 0, 0, 0, 0, 1 \right)
+\end{align*}
+От Лемата за линейна независимост, следва че $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ са линейно независими.
+
+\noindent
+От $\dim \left( \mathbb{Q}^5 \right) = 5$, знаем че всеки базис на $\mathbb{Q} ^ 5$ е съставен от пет линейно независими вектора. \linebreak
+
+$ \implies$ \colorbox{yellow}{$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ е базис на $\mathbb{Q} ^ 5$}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file