diff options
Solved exercises 2 and 3 from algebra homework
1 files changed, 129 insertions, 0 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex | 129 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex new file mode 100644 index 0000000..9aed74a --- /dev/null +++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise2.tex @@ -0,0 +1,129 @@ +% Document MUST be built with XeLaTeX! +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} + +% Поддръжка на български език +% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926 +\usepackage{fontspec} +\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX} +\setmainfont{CMU Serif} +\setsansfont{CMU Sans Serif} + +\usepackage[bulgarian,english]{babel} + +\usepackage{amsmath} % Математически символи +\usepackage{amsfonts} % Още математически символи +\usepackage{hyperref} % Линкове +\usepackage{cancel} % Зачертаване +\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове + +\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 2 Въпрос.} +\author{Камен Димитров Младенов, Група 6} +\date{16 Ноември 2021} + +\begin{document} + +\maketitle + +\paragraph{\colorbox{yellow}{2 Въпрос}} + +В пространството $F ^ 4$ на наредените четворки с елементи от поле $F$ са дадени векторите +\begin{align*} + & a_1 = (-1,2,1,1), \; a_2 = (3, -1,2,2), \; a_3 = (4,1,-1,2), \\ + & a_4 = ( 1, -3,2,1), \; a_5 = ( 1,3,4,4), \; a_6 = ( -1,7,-4,0). +\end{align*} +Да се намери базис на $F ^ 4$, който се съдържа в множеството $\left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$. + +\paragraph{Решение:} + +Дадените вектори образуват следната матрица от коефициенти: +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{cccc} + -1 & 2 & 1 & 1 \\ + 3 & -1 & 2 & 2 \\ + 4 & 1 & -1 & 2 \\ + 1 & -3 & 2 & 1 \\ + 1 & 3 & 4 & 4 \\ + -1 & 7 & -4 & 0 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Събираме първия ред с четвърти и пети,} \\ + & \text{умножаваме първия с -1 и го събираме с шести ред,} \\ + & \text{умножаваме първия с 3 и го събираме с втори ред,} \\ + & \text{умножаваме първия с 4 и го събираме с трети ред.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc} + -1 & 2 & 1 & 1 \\ + 0 & 5 & 5 & 5 \\ + 0 & 9 & 3 & 6 \\ + 0 & -1 & 3 & 2 \\ + 0 & 5 & 5 & 5 \\ + 0 & 5 & -5 & -1 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме петия ред с -1 и го събираме с втори и шести.} \\ + & \text{Делим пети ред на 5 и трети ред на 3.} \\ + & \text{Събираме резултатния пети ред с четвърти,} \\ + & \text{умножаваме пети ред с -1 и го събираме с първия.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc} + -1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 3 & 1 & 2 \\ + 0 & 0 & 4 & 3 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & -10 & -6 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Делим шести ред на 2.} \\ + & \text{Събираме резултатния шести ред с четвърти.} \\ + & \text{Умножаваме пети ред с -3 и събираме с трети.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc} + -1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & -2 & -1 \\ + 0 & 0 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & -5 & -3 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме четвърти ред с -2 и събираме с трети,} \\ + & \text{събираме четвърти ред с пети,} \\ + & \text{умножаваме четвърти с 5 и събираме с шести.} \\ + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc} + -1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & -3 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{Умножаваме трети ред с -3 и събираме с шести.} \\ + & \text{Събираме трети ред с пети.} \\ + & \text{Умножаваме пети ред с -1 и събраме с първи.} \\ + & \text{Умножаваме с -1 първи, трети и четвърти ред.} \\ + \end{aligned} \\ +\end{align*} +\begin{align*} + & \sim \left( \begin{array}{cccc} + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + \end{array} \right) \quad + \begin{aligned} + & \text{След размяна на втори с пети и трети с четвърти} \\ + & \text{и след премахване на последните два нулеви реда,} \\ + & \text{получаваме матрица в Гаус-Жорданов вид.} \\ + & \implies a_1, a_3, a_4, a_5 \text{ са линейно независими вектори} + \end{aligned} \\ +\end{align*} +$\dim \left( F^4 \right) = 4$ , следователно всеки базис на $F^4$ е съставен от четири линейно незаивисми вектора и от $a_1, a_3, a_4, a_5 \in \left\{ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \right\}$, следва че \colorbox{yellow}{$\left( a_1, a_3, a_4, a_5 \right)$ е базис на $F^4$} + +\end{document}
\ No newline at end of file |