Fixed badly formatted forall and exists clauses

2 files changed, 8 insertions, 8 deletions

diff --git a/Year 1/Calculus/notes.pdf b/Year 1/Calculus/notes.pdf
index 2ff6ece..5086e3a 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.pdf
+++ b/Year 1/Calculus/notes.pdf
diff --git a/Year 1/Calculus/notes.tex b/Year 1/Calculus/notes.tex
index 006cdee..06b5402 100644
--- a/Year 1/Calculus/notes.tex
+++ b/Year 1/Calculus/notes.tex
@@ -73,7 +73,7 @@
 		\begin{cases}
 			a_i = b_i, & \forall i \in {0, 1, 2, ...} \\
 			\text{или} \\
-			\exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, & a_i = b_i \; \forall i \in \{ 0, 1, ..., n-1 \} \text{ и } a_n < b_n
+			\exists n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}, & a_i = b_i \forall i \in \{ 0, 1, ..., n-1 \} \text{ и } a_n < b_n
 		\end{cases}$
 		
 		\item $a \leq 0, b \geq 0$ \qquad $a \leq b$
@@ -229,7 +229,7 @@
 $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клонящ към $x_0$, \newline
 ако за всяка околност $U$ на $L$ съществува околност $V$ на $x_0$, така че за всяко $x \in V \cap D, x \neq x_0 : f(x) \in U$
 \begin{align*}
-	\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \quad \text{ ако } \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| < \varepsilon
+	\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \quad \text{ ако } \quad \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D, x \neq x_0, |x - x_0| < \delta : |f(x) - L| < \varepsilon
 \end{align*}
 
 \emph{Граница на функция (форма на Хайне): } \newline
@@ -272,7 +272,7 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 \noindent
 \emph{Необходимо и достатъчно условие на Коши за съществуване на граница на функция}: 
 \begin{align*}
-	& \exists L \in \mathbb{R} : \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x', x'' \in (D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{ x_0 \} : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon
+	& \exists L \in \mathbb{R} : \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x', x'' \in (D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{ x_0 \} : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon
 \end{align*}
 
 \begin{align*}
@@ -284,9 +284,9 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \emph{Непрекъсната функция: } 
 
-\- \quad \emph{Форма на Коши: }$(\forall x_0 \in D) \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
+\- \quad \emph{Форма на Коши: }$(\forall x_0 \in D) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D, |x - x_0| < \delta : |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$
 
-\- \quad \emph{Форма на Хайне: } $(\forall x_0 \in D) \; \forall \{  x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0: f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} f(x_0)$
+\- \quad \emph{Форма на Хайне: } $(\forall x_0 \in D) \forall \{  x_n \}^{\infty}_{n = 1} \subset D, x_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} x_0: f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} f(x_0)$
 
 \subsection{Основни теореми}
 
@@ -312,7 +312,7 @@ $f$ има граница $L \in \mathbb{R}$, при аргумент клоня
 
 \- \quad $f$ притежава (единствено) непрекъснато продължение $\widetilde{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, когато $f$ е непрекъсната върху всеки ограничен затворен интервал $[c, d] \cap \mathbb{Q}$ \newline
 
-\emph{Експонента: } Единственото непрекъснато продължение $\widetilde{f}_a$ на $f_a(x) = a^x$ наричаме експонента с основа $a$, $a^x := \widetilde{f}_a (x) \; \forall x \in \mathbb{R}$
+\emph{Експонента: } Единственото непрекъснато продължение $\widetilde{f}_a$ на $f_a(x) = a^x$ наричаме експонента с основа $a$, $a^x := \widetilde{f}_a (x) \forall x \in \mathbb{R}$
 
 \subsection{Обратни тригонометрични функции}
 
@@ -579,7 +579,7 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 	Ако $\deg Q = n$, от алгебрата полиномът $Q$ има точно $n$ комплексни корена $z_1, ..., z_n \in \mathbb{C}$ и $Q(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = a_0(x-z_1)(x-z_2) \cdots (x-z_n)$
 	
 	След доказателство, полиномът $Q$ с реални коефициенти може да се разложи на:\newline
-	$Q(x) = a_0 (x-a_1)^{\alpha _1} \cdots (x-a_s)^{\alpha _s}(x^2+p_1x+q_1)^{\beta _1} \cdots (x^2+p_tx + q_t)^{\beta _t} \quad p_j^2 - 4q_j < 0 \; \forall j \in \{ 1, 2, ..., t \}$
+	$Q(x) = a_0 (x-a_1)^{\alpha _1} \cdots (x-a_s)^{\alpha _s}(x^2+p_1x+q_1)^{\beta _1} \cdots (x^2+p_tx + q_t)^{\beta _t} \quad p_j^2 - 4q_j < 0 \forall j \in \{ 1, 2, ..., t \}$
 		
 	\item \emph{Представяне на рациоанлна функция като сума на елементарни дроби}
 	
@@ -612,6 +612,6 @@ $f$ растяща в $\Delta \iff$ $f'(x) \geq 0 \quad \forall x \in \Delta$ \q
 
 \vfill
 
-\emph{\color{gray} \footnotesize Изготвено от Камен Младенов <kamen@syndamia.com> \hfill Версия 19.09.2022-1}
+\emph{\color{gray} \footnotesize Изготвено от Камен Младенов <kamen@syndamia.com> \hfill Версия 19.09.2022-2}
 
 \end{document}
\ No newline at end of file