Solved 1st exercise from algebra homework

2 files changed, 97 insertions, 0 deletions

diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1d22f20
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.pdf
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.tex b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.tex
new file mode 100644
index 0000000..8a9be50
--- /dev/null
+++ b/Year 1/Algebra/Homework1/Exercise1.tex
@@ -0,0 +1,97 @@
+% Document MUST be built with XeLaTeX!
+\documentclass[11pt,a4paper]{article}
+
+\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
+
+% Поддръжка на български език
+% Thanks to https://tex.stackexchange.com/a/136926
+\usepackage{fontspec}
+\defaultfontfeatures{Ligatures=TeX}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+
+\usepackage[bulgarian,english]{babel}
+
+\usepackage{amsmath}            % Математически символи
+\usepackage{amsfonts}           % Още математически символи
+\usepackage{hyperref}           % Линкове
+\usepackage{cancel}             % Зачертаване
+\usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове
+
+\title{\vspace{-2cm}Домашна работа 1 по Алгебра 1. 1 Въпрос.}
+\author{Камен Димитров Младенов, Група 6}
+\date{16 Ноември 2021}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\paragraph{\colorbox{yellow}{1 Въпрос}}
+
+Да се реши системата линейни уравнения в зависимост от стойностите на параметрите $p,q \in \mathbb{C}$.
+\begin{align*}
+	\left| \begin{array}{ccccccc}
+		2 x_1   & + x_2   & + x_3   & - x_4   & + 2 x_5 & = & -5 \\
+		  x_1   & - 5 x_2 & + x_3   & + 2 x_4 & + p x_5 & = & q \\
+		- 3 x_1 &         & + 2 x_3 & - x_4   & + 2 x_5 & = & -7
+	\end{array} \right.
+\end{align*}
+
+\paragraph{Решение:}
+
+Правим разширена матрица на системата линейни уравнения:
+\begin{align*}
+	& \left( \begin{array}{ccccc|c}
+		2 & 1 & 1 & -1 & 2 & -5 \\
+		1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
+		-3 & 0 & 2 & -1 & 2 & -7 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Събираме първия и втория ред с третия.} \\
+		& \text{Делим третия ред на 4.} \\
+		& \text{Събираме третия ред с първия.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
+		2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
+		1 & -5 & 1 & 2 & p & q \\
+		0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножваме втория ред с 2. Умножаваме първия} \\
+		& \text{ред с -1 и го събираме с втория.} \\
+		& \text{Умножаваме третия с -10 и го събираме с втория.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
+		2 & 0 & 2 & -1 & \frac{p}{4} + 3 & \frac{q}{4}-8 \\
+		0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
+		0 & -1 & 1 & 0 & \frac{p}{4} + 1 & \frac{q}{4}-3 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Умножваме първи ред с 5.} \\
+		& \text{Умножваме трети ред с 10.} \\
+		& \text{Разменяме втори и трети ред.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
+		10 & 0 & 10 & -5 & \frac{5p}{4} + 15 & \frac{5q}{4}-40 \\
+		0 & -10 & 10 & 0 & \frac{5p}{2} + 10 & \frac{5q}{2}-30 \\
+		0 & 0 & -10 & 5 & -\frac{3p}{4} -13 & -\frac{3q}{4} + 38 \\
+	\end{array} \right) \quad
+	\begin{aligned}
+		& \text{Събираме трети ред с първи и втори.} \\
+		& \text{Делим първи ред на 10.} \\
+		& \text{Делим втори и трети ред на -10.} \\
+	\end{aligned} \\
+	& \sim \left( \begin{array}{ccccc|c}
+		1 & 0 & 0 & 0 & \frac{p}{20} + \frac{1}{5} & \frac{q}{20}-\frac{1}{5} \\
+		0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} & -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} \\
+		0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} & \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} \\
+	\end{array} \right)
+\end{align*}
+За произволни $x_4$ и $x_5$, извеждаме че:
+\begin{align*}
+	\colorbox{yellow}{$x_1$} & = \frac{q}{20}-\frac{1}{5} - \left( \frac{p}{20} + \frac{1}{5} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{q - 4 - (p + 4) x_5}{20}$} \\
+	\colorbox{yellow}{$x_2$} & = -\frac{7q}{40}-\frac{4}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( -\frac{7p}{40} + \frac{3}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{-7q - 32 + 20 \, x_4 + \left( 7p - 12 \right) x_5}{40}$} \\
+	\colorbox{yellow}{$x_3$} & = \frac{3q}{40} - \frac{19}{5} + \frac{1}{2} x_4 - \left( \frac{3p}{40} + \frac{13}{10} \right) x_5 = \colorbox{yellow}{$\frac{3q - 152 + 20 \, x_4 - \left( 3p + 52 \right) x_5}{40}$}
+\end{align*}
+
+\end{document}
\ No newline at end of file