diff options
Added unfinished ex 4 solution of algebra hw3
2 files changed, 155 insertions, 1 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf | bin | 26290 -> 39065 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex | 156 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf Binary files differindex a268124..e120d70 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex index 4e06568..2f04271 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise4.tex @@ -18,6 +18,7 @@ \usepackage[dvipsnames]{xcolor} % Цветни кутийки + допълнителни цветове \newcommand{\answerbox}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}} \newcommand{\im}{\text{im}} +\newcommand{\rk}{\text{rk}} \usepackage{enumitem} \setlist[enumerate]{label=\arabic*.} @@ -55,6 +56,159 @@ \paragraph{Решение:} -[TODO] +Нека базиса на $U$ да бъде $e = (e_1, ..., e_n)$. По определение, $A = (\varphi (e_1), ..., \varphi (e_n))$, образувана по стълбове, и понеже $A$ има 5 стълба, то $n = 5$ и $\dim U = 5$. + +Понеже $\ker \varphi = \{ u \in U \mid \varphi (u) = eAx = \mathcal{O} \}$, знаем че координатните стълбове $x$ са решения на $Ax = \mathbb{O}$. Разглеждаме $A$: +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ + -2 & -1 & -3 & 0 & -4 \\ + 2 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ + -1 & 2 & 0 & 1 & -2 \\ + -1 & 1 & -2 & 2 & -2 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Събираме трети ред с втори. Умножаваме първи по -2 и събираме с} \\ + & \text{трети. Събираме първи с четвърти и пети.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & -5 & -1 & -4 & 0 \\ + 0 & 5 & 2 & 3 & 0 \\ + 0 & 4 & 0 & 4 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Събираме трети ред с четвърти. Събираме новополучелият се} \\ + & \text{четвърти ред с трети. Делим трети на -5 и пети на 4.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме трети ред по -1 и събираме с пети.} \\ + & \text{Умножаваме трети ред по -3 и събираме с първи.} \\ + & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събираме с първи.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Разменяме втори с трети и трети с четвърти. Изпускаме четвърти и пети.} \\ + & \text{Резултатът е матрица от коефициенти на системата от решения, с която} \\ + & \text{представяме } \ker (\varphi). \text{ Нейното общо решение е:} \\ + & x_1 = -x_4 -2x_5, \quad x_2 = -x_4, \quad x_3 = x_4, \quad \forall x_4, x_5 \in U + \end{aligned} +\end{align*} + +Избираме фундаментална система решения за $\ker (\varphi)$: $a_1 = (-2, 0, 0, 0, 1), \; a_2 = (-1, -1, 1, 1, 0)$. Следователно $d (\varphi) = \dim \ker (\varphi) = 2$. От теоремата за ранга и дефекта на линейно изображение в крайномерно пространство, $\rk (\varphi) := \dim \im (\varphi) = \dim(U) - \dim \ker (\varphi) = 3$. + +Знаем и, че $\im (\varphi) = l(\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5))$, то тогава три непропорционални вектора от $\varphi (e_1), ... , \varphi (e_5)$ образуват базис на $\im (\varphi)$. Избираме: +\begin{align*} + \varphi(e_1) = (1, -2, 2, -1, -1), \quad \varphi(e_2) = (3, -1, 1, 2, 1) \quad\text{и}\quad \varphi(e_3) = (2, -3, 3, 0, -2) +\end{align*} +За да намерим пространство от решения на $\im (\varphi)$, решаваме хомогенна система линейни уравнения с марица от коефициенти: + +\noindent +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\ + 3 & -1 & 1 & 2 & 1 \\ + 2 & -3 & 3 & 0 & -2 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи ред по -3 и събираме с втори.} \\ + & \text{Умножаваме първи ред по -2 и събираме с трети.} \\ + & \text{Разменяме втори и трети ред.} + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & -2 & 2 & -1 & -1 \\ + 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ + 0 & 5 & -5 & 5 & 4 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме втори ред по -5 и събираме с трети.} \\ + & \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\ + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ + 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & -5 & 4 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи по 5, умножаваме трети по 3 и събираме с първи.} \\ + & \text{Умножаваме втори по 5, умножаваме трети по 2 и събираме с втори.} + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 5 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ + 0 & 5 & -5 & 0 & 8 \\ + 0 & 0 & 0 & -5 & 4 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Общото решение на на получената система решения е:} \\ + & x_1 = -\frac{7x_5}{5}, \quad x_2 = \frac{5x_3 - 8 x_5}{5}, \quad x_4 = \frac{4x_5}{5} \quad \forall x_3, x_5 \in U + \end{aligned} +\end{align*} +Избираме фундаментална система решения за $\im (\varphi)$: $b_1 = (-7, -8, 0, 4, 5), \; b_2 = (0, 1, 1, 0, 0)$. + +Сечението $\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)$ е пространство от решения на хомогенна система линейни уравнения с матрица на коефициентите, съставена от $a_1, a_2, b_1, b_2$: +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{rrrrr} + -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ + -1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ + -7 & -8 & 0 & 4 & 5 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме втори ред по -1. Умножаваме втори по 2 и събираме с първи.} \\ + & \text{Умножаваме втори по 7 и събираме с трети. Умножаваме четвърти по -2} \\ + & \text{и събираме с първи. Умножаваме четвърти по -1 и събираме с втори.} \\ + & \text{Събираме четвърти с трети.} + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 0 & 0 & -4 & -2 & 1 \\ + 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & -6 & -3 & 5 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме трети ред по 4. Умножаваме първи по -6 и събираме с трети.} \\ + & \text{Делим трети на 14. Умножаваме втори по 2. Умножаваме първи -1 и} \\ + & \text{събираме с втори. Разменяме първи и втори ред, после трети и четвърти} \\ + & \text{и накрая втори и трети.} + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 2 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ + 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & -4 & -2 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме четвърти по -1 и събираме с трети. Събираме четвърти с} \\ + & \text{първи. Умножаваме втори по 4 и събираме трети с втори. Делим първи} \\ + & \text{и втори на две. Делим трети на -2.} + \end{aligned} \\ + & \left( \begin{array}{rrrrr} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ + 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 1 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Общото решение на на получената система е:} \\ + & x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{x_4}{2}, \quad x_3 = -\frac{x_4}{2}, \quad x_5 = 0 \quad \forall x_4 \in U \\ + & \text{Следователно, \answerbox{(0, 1, -1, 2, 0)} е базис на } \ker (\varphi) \cap \im (\varphi) + \end{aligned} +\end{align*} + +От теоремата за размерност на сума и сечение, $\dim (\ker (\varphi) + \im (\varphi)) = \dim \ker (\varphi) + \dim \im (\varphi) - \dim (\ker (\varphi) \cap \im (\varphi)) = 4$. Знаем, че $\ker (\varphi) = l(a_1, a_2)$ и $\im (\varphi) = l(\varphi(e_1), \varphi(e_2), \varphi(e_3))$ \end{document}
\ No newline at end of file |