diff options
Fixed ex1 solution of algebra hw3
2 files changed, 36 insertions, 25 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf | bin | 32830 -> 32703 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex | 61 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf Binary files differindex 91401fa..ceb862e 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex index c5352ad..c96fd3a 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework3/Exercise1.tex @@ -151,53 +151,64 @@ $x_3$ и $x_4$ са свободни променливи. Тогава съст \end{align*} $x_3$ и $x_4$ са независими променливи. Съставяме фундаментална система решения: \begin{align*} - & x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = -5 \quad (2, -5, 0, 1) \\ - & x_3 = -1 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = -5 \quad (2, -5, -1, 0) + & x_3 = 0 \quad x_4 = 1 \implies x_1 = -2 \quad x_2 = -5 \quad (-2, -5, 0, 1) \\ + & x_3 = 1 \quad x_4 = 0 \implies x_1 = 2 \quad x_2 = 5 \quad (2, 5, 1, 0) \end{align*} Разглеждаме матрица от фундаменталните системи решения на $U$ и $W$: \begin{align*} & \left( \begin{array}{rrrr} - 2 & -5 & 0 & 1 \\ - 2 & -5 & -1 & 0 \\ + -2 & -5 & 0 & 1 \\ + 2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & 3 & -5 & -8 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с втори. Умножаваме трети по 2.} \\ - & \text{Умножаваме първи по -3 и събираме с трети.} + & \text{Събираме първи ред с втори. Умножаваме трети по 2.} \\ + & \text{Умножаваме първи по 3 и събираме с трети.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} - 2 & -5 & 0 & 1 \\ - 0 & 0 & -1 & -1 \\ - 0 & 15 & -14 & -5 \\ + -2 & -5 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 15 & -14 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & -8 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме втори ред по -14 и събираме с трети. Умножаваме втори по} \\ - & \text{-5 и събираме с четвърти. Делим трети и четвърти на 3.} + & \text{Умножаваме втори ред по -14 и събираме с трети.} \\ + & \text{Умножаваме втори по -5 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} - 2 & -5 & 0 & 1 \\ - 0 & 0 & -1 & -1 \\ - 0 & 5 & 0 & 3 \\ - 0 & 1 & 0 & -1 + -2 & -5 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 0 & -15 & -28 & -13 \\ + 0 & 3 & -10 & -13 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Умножаваме четвърти ред по 5 и събираме с първи.} \\ - & \text{Умножаваме четвърти ред по -5 и събираме с трети.} + & \text{Умножаваме четвърти ред по 5 и събираме с трети.} \\ + & \text{Умножаваме втори ред по 78 и събираме с трети.} \\ + & \text{Умножаваме втори ред по 10 и събираме с четвърти.} \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{rrrr} - 2 & -5 & 0 & -4 \\ - 0 & 0 & -1 & -1 \\ - 0 & 0 & 0 & 8 \\ - 0 & 1 & 0 & -1 + -2 & -5 & 0 & 1 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 3 & 0 & -3 \end{array} \right) \quad \begin{aligned} - & \text{Делим трети ред на 8. Чрез умножения и събирания с другите редове,} \\ - & \text{зануляваме четвъртата им колона. Подобно правим с четвърти и} \\ - & \text{първи ред. Разменяме редовете и стигаме до Гаус-Жорданов вид.} + & \text{Умножаваме първи ред по 3. Умножаваме четвърти по 5 и събираме} \\ + & \text{с първи. Делим първи на -6. Делим четвърти на 3.} \\ + & \text{Разменяме трети с четвърти и втори с трети.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{rrrr} + 1 & 0 & 0 & 2 \\ + 0 & 1 & 0 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Матрицата е несъвместима със свободен член } x_4 = p \text{. Пресмятаме, че:} \\ + & \quad x_1 = -2p, \; x_2 = p, \; x_3 = -p \\ + & \; \implies \text{Базис на } U \cap W \text{ е: } \answerbox{(-2p, p, -p, p)} \text{ за произволно } p \in F \end{aligned} \end{align*} -Следователно базис на $U \cap W$ е: \answerbox{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} \end{document}
\ No newline at end of file |