diff options
Solved exercise 3 from algebra hw2
2 files changed, 159 insertions, 1 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf | bin | 15028 -> 20870 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex | 160 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf Binary files differindex 7fc392f..6f7314f 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex index 9b00e0f..f3b90e6 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise3.tex @@ -66,6 +66,164 @@ \paragraph{Решение:} -[TODO] +\noindent +\begin{align*} + & \text{Полагаме } Y = X \left( \begin{array}{ccc} + -2 & 1 & -1 \\ + 1 & 2 & -1 \\ + 1 & -1 & 1 + \end{array} \right) + \text{ и свеждаме към: } + \left( \begin{array}{cccc} + 2 & 1 & 0 & -1 \\ + 3 & 2 & 1 & -1 \\ + 1 & 1 & 1 & -1 \\ + 4 & 3 & 3 & 1 + \end{array} \right) Y = \left( \begin{array}{ccc} + -1 & 8 & -5 \\ + -1 & 12 & -7 \\ + 2 & 6 & -3 \\ + -3 & 13 & -7 + \end{array} \right) \\ + & \text{Образуваме матрицата: } + \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 2 & 1 & 0 & -1 & -1 & 8 & -5 \\ + 3 & 2 & 1 & -1 & -1 & 12 & -7 \\ + 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ + 4 & 3 & 3 & 1 & -3 & 13 & -7 + \end{array} \right) +\end{align*} + +Умножаваме трети ред по -2 и събираме с първи, умножаваме трети по -3 и събираме с втори, умножаваме трети по -4 и събираме с четвърти. Получаваме: + +\noindent +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 0 & -1 & -2 & 1 & -5 & -4 & 1 \\ + 0 & -1 & -2 & 2 & -7 & -6 & 2 \\ + 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ + 0 & -1 & -1 & 5 & -11 & -11 & 5 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с втори.} \\ + & \text{Умножаваме първи ред по -1 и събираме с четвърти.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 0 & -1 & -2 & 1 & -5 & -4 & 1 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ + 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ + 0 & 0 & 1 & 4 & -6 & -7 & 4 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме втори ред по -1 и събираме с първи.} \\ + & \text{Събираме втори ред с трети.} \\ + & \text{Умножаваме втори ред по -4 и събираме с четвърти.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -2 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ + 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & -2 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме четвърти ред по 2 и събираме с първи.} \\ + & \text{Умножаваме четвърти ред по -1 и събираме с трети.} \\ + & \text{Събираме първи ред с трети. Умножаваме първи ред по -1.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 \\ + 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Разменяме първи ред с трети.} \\ + & \text{Разменяме втори с трети.} \\ + & \text{Разменяме трети с четвърти.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{cccc|ccc} + 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 \\ + 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 + \end{array} \right) +\end{align*} + +Лявата половина е в Гаус-Жорданов вид, следователно: +\begin{align*} + Y = X \left( \begin{array}{ccc} + -2 & 1 & -1 \\ + 1 & 2 & -1 \\ + 1 & -1 & 1 + \end{array} \right) = + \left( \begin{array}{ccc} + -1 & 3 & -2 \\ + -1 & 0 & 0 \\ + 2 & 1 & 0 \\ + -2 & -2 & 1 + \end{array} \right) +\end{align*} + +Транспонираме матричното уравнение и свеждаме към: +\begin{align*} + \left( \begin{array}{ccc} + -2 & 1 & 1 \\ + 1 & 2 & -1 \\ + -1 & -1 & 1 \\ + \end{array} \right) X^t = + \left( \begin{array}{cccc} + -1 & -1 & 2 & -2 \\ + 3 & 0 & 1 & -2 \\ + -2 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{array} \right) +\end{align*} + +От което образуваме матрицата +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{ccc|cccc} + -2 & 1 & 1 & -1 & -1 & 2 & -2 \\ + 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ + -1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме втори ред по 2 и събираме с първи.} \\ + & \text{Събираме втори ред с трети. Умножаваме новополучелият се} \\ + & \text{трети ред по -5 и събираме с първи.} + \end{aligned} \\ + & \sim \left( \begin{array}{ccc|cccc} + 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ + 1 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ + \end{array} \right) + \quad \begin{aligned} + & \text{Умножаваме първи ред по -1. Събираме първи ред с втори.} \\ + & \text{Умножваме трети по -2 и събираме с втори.} \\ + & \text{Разменяме първи с втори и втори с трети ред.} \\ + \end{aligned} +\end{align*} +\begin{align*} + & \left( \begin{array}{ccc|cccc} + 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ + \end{array} \right) + \quad + \begin{aligned} + & \text{Лявата половина е в} \\ + & \text{Гаус-Жорданов вид.} \\ + \end{aligned} \\ + & \implies X^t = \left( \begin{array}{cccc} + 1 & 1 & 0 & 1 \\ + 1 & 0 & 1 & -1 \\ + 0 & 1 & 1 & 1 \\ + \end{array} \right) + \quad \text{ и } \quad + \answerbox{X = \left( \begin{array}{ccc} + 1 & 1 & 0 \\ + 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 \\ + 1 & -1 & 1 \\ + \end{array} \right)} +\end{align*} \end{document}
\ No newline at end of file |