diff options
Added missing subcase in solution to exercise 4 of algebra hw2
2 files changed, 26 insertions, 11 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf | bin | 21484 -> 27705 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex | 37 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf Binary files differindex f9b3d8d..14a0087 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex index 437cf00..9fec407 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex @@ -57,7 +57,7 @@ Умножаваме втори ред по $-1$ и събираме с първи. Събираме трети ред с четвърти. Разменяме първи ред с втори, втори с трети и трети с четвърти. Получаваме: \begin{align*} - & \left( \begin{array}{cccc} + \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & q + 1 & 0 & 10 \\ @@ -65,7 +65,7 @@ \end{array} \right) \quad - \begin{aligned} + & \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред с -1 и събираме с втори.} \\ & \text{Получения втори ред делим на 2 и събираме с първи и четвърти.} \\ & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събраме с трети.} \\ @@ -79,27 +79,42 @@ \right) \end{align*} -\textbf{I. Случай: } $q + 1 = 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ +\textbf{I. Случай: } $q + 1 = 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ -Ако и двете са нули, трети ред се занулява и получаваме Гаус-Жорданов вид с три линейно независими уравнения. +Ако и двете са нули, трети ред се занулява и получаваме Гаус-Жорданов вид с три линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 3$ -Ако и двете не са нули, ще можем да занулим втори ред чрез трети (или обратното). Отново стигаме до Гаус-Жорданов вид с три линейно независими уравнения. +\hfill + +\textbf{II. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 = 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ -$\implies \rank(A) = 3$ +Делим трети ред на ненулевата стойност. Поетапно чрез трети, втори и четвърти ред ще занулим трета, втора и четвърта колона на останалите редове. + +Стигаме до Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$ \hfill -\textbf{II. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 = 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ +\textbf{III. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ + +\emph{1) Подслучай:} Tрети ред е линейно зависим от втори ред. -Делим трети ред на ненулевата стойност и чрез този ред зануляваме една от ненулевите колони във втори ред. Поетапно чрез втори, трети и четвърти ред ще занулим втора, трета и четвърта колона на останалите редове. +Тогава $\exists x \in \mathbb{C} \left( q + 1 = 2x \text{ и } -2p + 1 = x \right)$. -Стигаме до Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими уравнения. +Следователно, $\rank(A) = 3$ за произволно $q$, когато $p = -\frac{q - 1}{4}$ (или за произволно $p$, когато $q = -4p + 1$). -$\implies \rank(A) = 4$ +\hfill + +\emph{2) Подслучай:} Tрети ред не е линейно зависим от втори ред. + +Умножаваме втори ред по $\frac{-(q+1)}{2}$ и събираме с трети. Делим трети на $-2p + 1 + \frac{-(q+1)}{2}$, след това поетапно чрез трети и четвърти ред зануляваме третата и четвъртата колона на останалите редове. + +Стигаме до Гаус-Жорданов вид на три линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$ \hfill \noindent -\answerbox{\implies \text{Ако } \left( q = -1 \text{ и } p = \frac{1}{2} \right) \text{ или } \left( q \neq -1 \text{ и } p \neq \frac{1}{2} \right) \text{, то рангът } \rank(A) = 3 \text{, иначе } \rank(A) = 4} +\answerbox{\implies \text{Ако } \left( q = -1 \text{ и } p = \frac{1}{2} \right) \text{ или } \left( \text{За произволно } q, \; p = \frac{1-q}{4} \right) \text{ или } \left( \text{За произволно } p, \; q = 1 - 4p \right),} + +\noindent +\answerbox{\text{то рангът } \rank(A) = 3 \text{, иначе } \rank(A) = 4} \end{document}
\ No newline at end of file |