diff options
Fixed wrong solution to exercise 4 of algebra homework2
2 files changed, 24 insertions, 23 deletions
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf | bin | 25208 -> 21484 bytes | |||
| -rw-r--r-- | Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex | 47 |
diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf Binary files differindex bf77760..f9b3d8d 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.pdf diff --git a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex index 2c932e3..437cf00 100644 --- a/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex +++ b/Year 1/Algebra/Homework2/Exercise4.tex @@ -57,7 +57,7 @@ Умножаваме втори ред по $-1$ и събираме с първи. Събираме трети ред с четвърти. Разменяме първи ред с втори, втори с трети и трети с четвърти. Получаваме: \begin{align*} - \left( \begin{array}{cccc} + & \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & q + 1 & 0 & 10 \\ @@ -65,40 +65,41 @@ \end{array} \right) \quad - & \begin{aligned} + \begin{aligned} & \text{Умножаваме първи ред с -1 и събираме с втори.} \\ & \text{Получения втори ред делим на 2 и събираме с първи и четвърти.} \\ + & \text{Умножаваме четвърти ред по -2 и събраме с трети.} \\ \end{aligned} \\ & \sim \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \frac{5}{2} & -2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ - 0 & q + 1 & 0 & 10 \\ + 0 & q + 1 & -2p + 1 & 0 \\ 0 & 0 & p - \frac{1}{2} & 5 \end{array} \right) \end{align*} -\begin{enumerate}[label={\textbf{\Roman*. Случай:}},leftmargin=7em] - \item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q = 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline - С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Умножваме го по -5 и събираме с четвърти, умножаваме трети по 2 и събираме с първи. Резултатът е матрица в Гаус-Жорданов вид с три линейно независими вектора. $\implies \rank (A) = 3$ - - \item $q + 1 = 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q = 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline - С резултатната матрица, делим трети ред на 10. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline - Делим четвърти ред с $p - \frac{1}{2}$ и пак чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме третата им колона. \newline - Финално, разменяме последните два реда и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$ - - \item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} = 0 \qquad q \neq 1 , \quad p = \frac{1}{2}$ \newline - Четвърти ред делим на 5. Чрез умножения и събирания с другите редове, зануляваме четвъртата им колона. \newline - Делим трети ред на $q + 1$, умножаваме по -2 и събираме с втори ред. Умножаваме втори ред по $-\frac{5}{2}$ и събираме с първи. Разменяме втори и трети ред. \newline - Получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$ - - \item $q + 1 \neq 0 , \quad p - \frac{1}{2} \neq 0 \qquad q \neq 1 , \quad p \neq \frac{1}{2}$ \newline - Умножаваме трети ред по $\frac{-2}{q+1}$ и събираме с втори ред. Умножаваме четвърти ред по $\frac{1}{p - \frac{1}{2}}$ и събираме с втори ред. \newline - Втори ред има само една ненулева стойност, и то в четвърта колона. Делим, умножаваме и събираме с другите редове, така че да занулим четвъртата им колона. \newline - Правим подобно с трети и четвърти ред. Разменяме редове и получаваме Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими вектора. $\implies \rank(A) = 4$ -\end{enumerate} +\textbf{I. Случай: } $q + 1 = 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ + +Ако и двете са нули, трети ред се занулява и получаваме Гаус-Жорданов вид с три линейно независими уравнения. + +Ако и двете не са нули, ще можем да занулим втори ред чрез трети (или обратното). Отново стигаме до Гаус-Жорданов вид с три линейно независими уравнения. + +$\implies \rank(A) = 3$ + +\hfill + +\textbf{II. Случай: } $q + 1 \neq 0$ и $-2p + 1 = 0 \qquad$ или $\qquad q + 1 = 0$ и $-2p + 1 \neq 0$ + +Делим трети ред на ненулевата стойност и чрез този ред зануляваме една от ненулевите колони във втори ред. Поетапно чрез втори, трети и четвърти ред ще занулим втора, трета и четвърта колона на останалите редове. + +Стигаме до Гаус-Жорданов вид с четири линейно независими уравнения. + +$\implies \rank(A) = 4$ + +\hfill \noindent -\answerbox{\implies \text{Ако } q = 1 \text{ и } p = \frac{1}{2}, \; \rank(A) = 3, \text{ иначе } \rank(A) = 4} +\answerbox{\implies \text{Ако } \left( q = -1 \text{ и } p = \frac{1}{2} \right) \text{ или } \left( q \neq -1 \text{ и } p \neq \frac{1}{2} \right) \text{, то рангът } \rank(A) = 3 \text{, иначе } \rank(A) = 4} \end{document}
\ No newline at end of file |